京都大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$x^2$ と $y^2$ を $2p$ で割った余りが等しいので $x^2\equiv y^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2p)$ である。したがって $$2p\mid (x^2-y^2)=(x-y)(x+y)$$ が成り立つ。

まず法 $2$ で考えると $x^2\equiv y^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ である。整数は2で割った余りと2乗の余りが一致するので、$x$ と $y$ は同じ偶奇である。

次に法 $p$ で考える。$p$ は素数だから $p\mid (x-y)(x+y)$ より $p\mid x-y\text{または}p\mid x+y$ である。

まず $p\mid x-y$ の場合を考える。$0\leqq x,y\leqq p$ より $-p\leqq x-y\leqq p$ であるから、$x-y$ は $-p,0,p$ のいずれかである。もし $x-y=\pm p$ なら、$(x,y)$ は $(p,0)$ または $(0,p)$ であり、$p$ が奇数であるため $x,y$ の偶奇が異なる。これは先に得た同じ偶奇に反する。よって $x-y=0$ であり、$x=y$ である。

次に $p\mid x+y$ の場合を考える。$0\leqq x+y\leqq 2p$ であるから $$x+y=0,p,2p$$ のいずれかである。ところが $x,y$ は同じ偶奇なので $x+y$ は偶数である。一方 $p$ は奇数だから、$x+y=p$ は起こらない。したがって $$x+y=0\text{または}x+y=2p$$ である。前者では $x=y=0$、後者では $0\leqq x,y\leqq p$ から $x=y=p$ となる。

いずれの場合も $x=y$ が従う。

法 $2p$ の合同を、法2による偶奇と法 $p$ による符号の2情報へ分ける。中国剰余定理を名称として使わず、範囲条件で候補を尽くす。

仮定より$$x^2\equiv y^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2p)\mathrm{.}$$法2で見ると $x\equiv y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ であり、$x,y$ は同じ偶奇である。

一方、法 $p$ では$$(x-y)(x+y)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$$p$ は素数だから$$x\equiv y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\text{または}x\equiv -y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$前者では $-p\leqq x-y\leqq p$ より$$x-y\in \{-p,0,p\}\mathrm{.}$$$\pm p$ なら端点の組 $(p,0)$ または $(0,p)$ となり、偶奇が異なるので不可能である。ゆえに $x=y$ である。

後者では$$x+y\in \{0,p,2p\}\mathrm{.}$$$x+y$ は偶数で $p$ は奇数だから $x+y=p$ は不可能である。$x+y=0$ なら $x=y=0$、$x+y=2p$ なら $x=y=p$ である。どの場合にも$$x=y$$が得られる。