京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$$a_n=i^{{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}}$$ である。$i^r$ は指数 $r$ を4で割った余りだけで決まるから、$a_{n+k}=a_n$ がすべての整数 $n$ について成り立つことは ${\displaystyle \frac{(n+k)(n+k-1)}{2}}-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$ がすべての整数 $n$ について4の倍数であることと同値である。

この差を計算すると $${\displaystyle \frac{(n+k)(n+k-1)-n(n-1)}{2}}={\displaystyle \frac{2kn+k^2-k}{2}}=kn+{\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}$$ である。

まず、これがすべての整数 $n$ で4の倍数になるなら、$n$ を1増やしたときの差である $k$ も4の倍数でなければならない。そこで $k=4m$ とおく。このとき定数項は $${\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}={\displaystyle \frac{4m(4m-1)}{2}}=2m(4m-1)$$ である。$4m-1$ は奇数なので、$2m(4m-1)$ が4の倍数であるためには $m$ が偶数であることが必要である。したがって $k=4m$ は8の倍数でなければならない。

逆に $k=8q$ とおくと $kn=8qn$ は4の倍数であり、また $${\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}={\displaystyle \frac{8q(8q-1)}{2}}=4q(8q-1)$$ も4の倍数である。よって任意の整数 $n$ について $a_{n+k}=a_n$ が成り立つ。

以上より、求める正の整数 $k$ は $8,16,24,\dots$ すなわち8の正の倍数である。

指数 $n(n-1)\mathrm{/}2$ を4で割った余りを8項だけ並べる。
8ずらすと指数差が必ず4の倍数になることと、
1から7のずれでは並びが一致しないことを確認する。

$f(n)=n(n-1)\mathrm{/}2$ を4で割った余りを
$n=0,1,\dots ,7$ について並べると$$0,0,1,3,2,2,3,1$$である。したがって $a_n=i^{f(n)}$ の8項は$$1,1,i,-i,-1,-1,-i,i\mathrm{.}$$一方、$$f(n+8)-f(n)=8n+28=4(2n+7)$$はすべての整数 $n$ で4の倍数だから$$a_{n+8}=a_n\mathrm{.}$$よって8は周期である。

上の8項の並びを1項から7項だけずらしても元の並びとは一致しない。
したがって最小の正の周期は8である。
周期 $k$ があれば、8で割った余りも周期になるので、
最小性からその余りは0でなければならない。
従ってすべての正の周期は$$k=8,16,24,\dots$$すなわち8の正の倍数である。