京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

まず $n^9-n^3=n^3(n^6-1)$ である。

場合1：$n$ が3で割り切れる場合。
このとき $n=3r$ と書けるので $n^3=27r^3$ であり、$n^3$ は9で割り切れる。したがって $n^3(n^6-1)$ も9で割り切れる。

場合2：$n$ が3で割り切れない場合。
このとき、$n$ を9で割った余りは $1,2,4,5,7,8$ のいずれかである。それぞれ3乗を9で見ると $$1^3\equiv 1,2^3\equiv 8\equiv -1,4^3\equiv 64\equiv 1,$$ $$5^3\equiv 125\equiv -1,7^3\equiv 343\equiv 1,8^3\equiv 512\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$である。したがって $$n^3\equiv 1\text{または}{n}^3\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$ であり、いずれの場合も $n^6\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ となる。よって $n^6-1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ なので、$n^3(n^6-1)$ は9で割り切れる。

以上より、任意の整数 $n$ に対して ${\displaystyle n^9-n^3\text{ は9で割り切れる}}$ ことが示された。

$n$ を $3q,3q+1,3q-1$ の3場合に分ける。
3の倍数の場合は明らかであり、残る2場合は三乗を展開すると
$n^3\equiv \pm 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ が直ちに出る。

整数 $n$ は$$n=3q,3q+1,3q-1$$のいずれかに書ける。

$n=3q$ のときは $n^3$ が9の倍数なので、$$n^9-n^3=n^3(n^6-1)$$も9の倍数である。

$n=3q+1$ のとき$$n^3=(3q+1{)}^3=27q^3+27q^2+9q+1\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)\mathrm{.}$$したがって $n^6\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ である。

同様に $n=3q-1$ のとき$$n^3=(3q-1{)}^3=27q^3-27q^2+9q-1\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$だから、やはり $n^6\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ である。

後二者では $n^6-1$ が9の倍数となる。以上のすべての場合で$$n^9-n^3=n^3(n^6-1)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$が成り立つ。