京都大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

$$A=(0,0,0),B=(3,0,0),C=(0,4,0)$$ とおける。$D=(x,y,z)$ とすると$$x^2+y^2+z^2=36,$$$$(x-3{)}^2+y^2+z^2=49,x^2+(y-4{)}^2+z^2=64.$$第2式から第1式を引くと$$-6x+9=13,x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$第3式から第1式を引くと$$-8y+16=28,y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$z^2=36-{\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{1199}{36}},\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{1199}}{6}}\mathrm{.}$$底面 $ABC$ の面積は $${\displaystyle \frac{3\cdot 4}{2}}=6$$ であるから、体積は$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 6\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{1199}}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{1199}}{3}}\mathrm{.}$$

頂点 $A$ から出る3辺の内積を余弦定理で求める。3ベクトルが作る平行六面体の体積の2乗を行列式で計算する。

次の3ベクトルを置く。$$\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AC},\vec{w}=\overrightarrow{AD}\mathrm{.}$$辺長から$$\mid \vec{u}{\mid }^2=9,\mid \vec{v}{\mid }^2=16,\mid \vec{w}{\mid }^2=36.$$また余弦定理により$$\vec{u}\cdot \vec{v}={\displaystyle \frac{9+16-25}{2}}=0,$$$$\vec{u}\cdot \vec{w}={\displaystyle \frac{9+36-49}{2}}=-2,\vec{v}\cdot \vec{w}={\displaystyle \frac{16+36-64}{2}}=-6.$$したがって、3ベクトルが作る平行六面体の体積の2乗は$$\mid \begin{array}{ccc}9& 0& -2\\ 0& 16& -6\\ -2& -6& 36\end{array}\mid =4796=4\cdot 1199.$$平行六面体の体積は四面体の6倍だから$$(6V{)}^2=4\cdot 1199.$$よって$$V={\displaystyle \frac{\sqrt{1199}}{3}}\mathrm{.}$$