京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

原点 $O$ を1つ固定し、各点について $$t_k=\overrightarrow{O{P}_k}\cdot \vec{v}(k=1,2,3,4)$$ とおく。 $k\mathrm{\ne }m$ のとき、$$\overrightarrow{P_k{P}_m}=\overrightarrow{O{P}_m}-\overrightarrow{O{P}_k}$$ であるから$$\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \vec{v}=(\overrightarrow{O{P}_m}-\overrightarrow{O{P}_k})\cdot \vec{v}=t_m-t_k$$である。

仮定より $\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \vec{v}\mathrm{\ne }0$ なので $t_m-t_k\mathrm{\ne }0$ である。したがって $t_1,t_2,t_3,t_4$ はすべて相異なる。

この4つの実数のうち最大のものを $t_k$ とする。このとき $m\mathrm{\ne }k$ なら $t_m<t_k$ であるから $$\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \vec{v}=t_m-t_k<0$$ が成り立つ。

よって、条件を満たす点 $P_k$ が存在する。

$\vec{v}$ に垂直な直線を $\vec{v}$ の向きへ平行移動する。
仮定により2点へ同時に触れることはないので、最後に触れる点がただ1つ定まる。
その位置関係を内積の符号へ戻す。

$\vec{v}=\vec{0}$ なら仮定
$\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \vec{v}\mathrm{\ne }0$ に反するので、$\vec{v}\mathrm{\ne }\vec{0}$ である。

$\vec{v}$ に垂直な直線を用意し、4点をすべて通過するように
$\vec{v}$ の向きへ平行移動する。仮定より、異なる2点 $P_k,P_m$ が
同じ直線上に乗ることはない。実際、同じなら
$\overrightarrow{P_k{P}_m}$ は $\vec{v}$ に垂直となり、$$\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \vec{v}=0$$となってしまう。

したがって、移動する直線が最後に通過する点を $P_k$ とすると、
その点はただ1つである。他の任意の点 $P_m$ は $P_k$ より
$\vec{v}$ 方向の手前にあるから、$$\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \vec{v}<0(m\mathrm{\ne }k)$$となる。よって条件を満たす $P_k$ が存在する。