京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{d}=\overrightarrow{OD}$$とおく。四角錐であるから、$\vec{a},\vec{b},\vec{d}$ は一次独立な3本のベクトルとして基準にできる。

条件$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$$より $$\overrightarrow{OC}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}$$ である。したがって、基準 $\vec{a},\vec{b},\vec{d}$ に関する座標で見ると、$$P=(p,0,0),Q=(0,q,0),$$ $$R=(-r,r,r),S=(0,0,s)$$ である。 $p,q,s$ はいずれも0でないので、3点 $P,Q,S$ は同一直線上にはなく、平面 $PQS$ を定める。この平面は3つの座標軸をそれぞれ $(p,0,0),(0,q,0),(0,0,s)$ で切るから、方程式は $${\displaystyle \frac{X}{p}}+{\displaystyle \frac{Y}{q}}+{\displaystyle \frac{Z}{s}}=1$$ と書ける。

いま $P,Q,R,S$ は同一平面上にあるので、$R=(-r,r,r)$ もこの平面上にある。よって $${\displaystyle \frac{-r}{p}}+{\displaystyle \frac{r}{q}}+{\displaystyle \frac{r}{s}}=1$$ である。$r\mathrm{\ne }0$ だから両辺を $r$ で割ると $$-{\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{r}}$$ となる。これを移項して $${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}={\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}$$ を得る。

$P$ を基点とする3本の差ベクトルを、
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}$
の成分で書く。同一平面上にあるための必要条件は3本が一次従属になることである。
その行列式を展開し、0でない $pqrs$ で割れば目標の逆数関係が現れる。

$$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{d}=\overrightarrow{OD}$$とおく。四角錐は退化していないから、この3本は一次独立である。また$$\overrightarrow{OC}=-\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}\mathrm{.}$$したがって基準 $(\vec{a},\vec{b},\vec{d})$ に関する成分は$$P=(p,0,0),Q=(0,q,0),R=(-r,r,r),S=(0,0,s)\mathrm{.}$$4点が同一平面上にあるので、
$\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS}$
は一次従属である。ゆえに$$\mid \begin{array}{ccc}-p& q& 0\\ -p-r& r& r\\ -p& 0& s\end{array}\mid =0.$$左辺を展開すると$$-pqr+pqs-prs+qrs=0.$$$pqrs\mathrm{\ne }0$ であるから両辺を $pqrs$ で割り、整理すると$${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}={\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}$$を得る。