京都大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$$\vec{d}={\displaystyle \frac{\vec{a}}{3}}+{\displaystyle \frac{\vec{b}}{5}}$$ とおく。内角の二等分線上の点の位置ベクトルは $\lambda \vec{d}$ と表される。まず$$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 5\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}=9$$だから$$\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2=1+1+{\displaystyle \frac{2}{15}}\vec{a}\cdot \vec{b}={\displaystyle \frac{16}{5}},\vec{d}\cdot \vec{b}={\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{a}\cdot \vec{b}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=8.$$円上にある条件は$$\mathrm{\mid }\lambda \vec{d}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=10.$$よって$${\displaystyle \frac{16}{5}}{\lambda }^2-16\lambda +25=10,$$すなわち$$16{\lambda }^2-80\lambda +75=0.$$これを解くと $$\lambda ={\displaystyle \frac{5}{4}},{\displaystyle \frac{15}{4}}$$ である。したがって2交点の位置ベクトルは$${\displaystyle \frac{5}{4}}({\displaystyle \frac{\vec{a}}{3}}+{\displaystyle \frac{\vec{b}}{5}})={\displaystyle \frac{5}{12}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\vec{b},$$$${\displaystyle \frac{15}{4}}({\displaystyle \frac{\vec{a}}{3}}+{\displaystyle \frac{\vec{b}}{5}})={\displaystyle \frac{5}{4}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\vec{b}$$である。

二等分線方向の単位ベクトルを作り、交点までの距離を $r$ と置く。余弦定理に相当する内積計算で $r$ を直接決める。

単位ベクトル$$\vec{u}={\displaystyle \frac{\vec{a}}{3}},\vec{v}={\displaystyle \frac{\vec{b}}{5}}$$を取ると、内角の二等分線の方向は $\vec{u}+\vec{v}$ である。$$\mathrm{\mid }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=1+1+2\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{16}{5}}$$だから、その方向の単位ベクトルは$$\vec{e}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}({\displaystyle \frac{\vec{a}}{3}}+{\displaystyle \frac{\vec{b}}{5}})$$である。交点を表す位置ベクトルを $r\vec{e}$ とする。

また$$\vec{e}\cdot \vec{b}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}({\displaystyle \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{3}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}{5}})=2\sqrt{5}$$である。中心 $B$ からの距離が $\sqrt{10}$ である条件は$$\mathrm{\mid }r\vec{e}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=r^2-4\sqrt{5}r+25=10.$$よって$$r^2-4\sqrt{5}r+15=0$$から $$r={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}\cdot 5$$、${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}\cdot 15$ を得る。したがって位置ベクトルは$${\displaystyle \frac{5}{12}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\vec{b},{\displaystyle \frac{5}{4}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\vec{b}$$である。