京都大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

(1) $$S=1+2z+3z^2+\cdots +n{z}^{n-1}$$とおく。$z^n=1,z\mathrm{\ne }1$ より$$1+z+\cdots +z^{n-1}=0.$$また$$(z-1)S=n{z}^n-(1+z+\cdots +z^{n-1})=n\mathrm{.}$$したがって$$S={\displaystyle \frac{n}{z-1}}\mathrm{.}$$よって選択肢は（エ）である。

(2) $z=e^{{40}^{\circ }i}$ とおくと、$z^9=1,z\mathrm{\ne }1$ である。(1)を $n=9$ に適用して$$1+2z+3z^2+\cdots +9z^8={\displaystyle \frac{9}{z-1}}\mathrm{.}$$左辺の虚部は問題の左辺である。一方、$\varphi ={40}^{\circ }$ とすれば$${\displaystyle \frac{1}{e^{i\varphi }-1}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{i}{2}}\cot {\displaystyle \frac{\varphi }{2}}\mathrm{.}$$したがって両辺の虚部を取ると$$2\sin {40}^{\circ }+3\sin {80}^{\circ }+\cdots +9\sin {320}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{9}{2}}\cot {20}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{9}{2\tan {20}^{\circ }}}\mathrm{.}$$

有限等比和を微分して係数付き和を得る。(2)では $z-1$ の逆数を共役で有理化し、虚部を直接読む。

(1) $$F(z)=z+z^2+\cdots +z^n={\displaystyle \frac{z(1-z^n)}{1-z}}$$とおく。求める和は $F^{\mathrm{\prime }}(z)$ である。$z^n=1$, $z\mathrm{\ne }1$ を代入すると、商の微分から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(z)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(1-(n+1)z^n)(1-z)+z(1-z^n)}{(1-z{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-n(1-z)}{(1-z{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n}{z-1}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって選択肢は（エ）である。

(2) $$z=\cos {40}^{\circ }+i\sin {40}^{\circ }$$ とおく。(1)より$$1+2z+\cdots +9z^8={\displaystyle \frac{9}{z-1}}\mathrm{.}$$右辺を共役で有理化すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{z-1}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\cos {40}^{\circ }-1-i\sin {40}^{\circ }}{2-2\cos {40}^{\circ }}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{i}{2\tan {20}^{\circ }}}\mathrm{.}}\end{array}$$両辺の虚部を比較して$$2\sin {40}^{\circ }+3\sin {80}^{\circ }+\cdots +9\sin {320}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{9}{2\tan {20}^{\circ }}}$$を得る。