京都大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

$$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ とし、$$P=(\cos \theta ,\sin \theta ),Q=(-\sin \theta ,\cos \theta )$$とおく。$P,Q$ での接線はそれぞれ$$x\cos \theta +y\sin \theta =1,-x\sin \theta +y\cos \theta =1$$である。これらの $x$ 切片は ${\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }},-{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}$、2接線の交点は$$(\cos \theta -\sin \theta ,\sin \theta +\cos \theta )$$である。したがって三角形の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }})(\sin \theta +\cos \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\sin \theta +\cos \theta {)}^2}{2\sin \theta \cos \theta }}=1+{\displaystyle \frac{1}{\sin 2\theta }}\mathrm{.}}\end{array}$$$0<2\theta <\pi$ で $\sin 2\theta \leqq 1$ だから$$S\geqq 2.$$等号は $$2\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$、すなわち $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ のときに成り立つ。よって $P,Q$ が $y$ 軸に関して対称になる場合に最小となり、最小値は $2$ である。

接線の切片と交点の高さから面積を出した後、$\sin \theta \cos \theta \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ を相加相乗平均で示して最小化する。

$$P=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ とおくと$$Q=(-\sin \theta ,\cos \theta ),0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$2本の接線の $x$ 切片は$${\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }},-{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }},$$交点の高さは$$\sin \theta +\cos \theta$$である。したがって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }})(\sin \theta +\cos \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{1}{2\sin \theta \cos \theta }}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2\geqq 0$$より$$2\sin \theta \cos \theta \leqq {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1.$$したがって$$S\geqq 2.$$等号は$$\sin \theta =\cos \theta ,\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$のときに限る。よって $P,Q$ が $y$ 軸に関して対称な場合に最小となり、最小値は2である。