京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

交点の $x$ 座標は $2-x^2=x^2-4x+a$ を満たす。整理すると $2x^2-4x+a-2=0$ すなわち $$x^2-2x+{\displaystyle \frac{a-2}{2}}=0$$ である。

この方程式が異なる2つの実数解をもつためには、判別式が正であればよい。判別式は $$(-2{)}^2-4\cdot {\displaystyle \frac{a-2}{2}}=8-2a=2(4-a)$$ であるから、まず $a<4$ が必要である。このとき解は $$x=1\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{4-a}{2}}}$$ である。

交点は $C_1:y=2-x^2$ 上にあるので、交点で $y>0$ となる条件は $2-x^2>0$ すなわち $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ である。

ここで $$s=\sqrt{{\displaystyle \frac{4-a}{2}}}>0$$ とおくと、2つの解は $1-s$ と $1+s$ である。大きい方の解 $1+s$ が $\sqrt{2}$ より小さければ、$$1-s>1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}>0>-\sqrt{2}$$ となるので、小さい方の解も自動的に $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ に入る。したがって条件は $1+s<\sqrt{2}$ である。これは $s<\sqrt{2}-1$ すなわち $$\sqrt{{\displaystyle \frac{4-a}{2}}}<\sqrt{2}-1$$ である。両辺は正なので2乗して $${\displaystyle \frac{4-a}{2}}<3-2\sqrt{2}$$ を得る。よって $a>4\sqrt{2}-2$ である。

以上を合わせると、求める範囲は $4\sqrt{2}-2<a<4$ である。

交点方程式の軸が $x=1$ であることを使う。2根を $1\pm s$ と置き、上半平面に対応する区間へ2根が入る条件を端点距離で処理する。

交点の $x$ 座標は$$(x-1{)}^2={\displaystyle \frac{4-a}{2}}$$を満たす。異なる2交点を持つには $a<4$ が必要で、$$s=\sqrt{(4-a)\mathrm{/}2}>0$$ とおけば2根は $1-s$、$1+s$ である。

交点の高さは $y=2-x^2$ だから、$y>0$ は $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ と同値である。軸 $x=1$ から右端 $\sqrt{2}$ までの距離は $\sqrt{2}-1$ であり、左端までの距離は $1+\sqrt{2}$ である。したがって2根がともに区間内に入る条件は$$0<s<\sqrt{2}-1.$$これを2乗して$${\displaystyle \frac{4-a}{2}}<(\sqrt{2}-1{)}^2=3-2\sqrt{2}$$より $a>4\sqrt{2}-2$ を得る。ゆえに$$4\sqrt{2}-2<a<4$$である。