京大 2005年度理系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

線分 $L$ 上の点を $(t, 2 t)$ （ $0 ≦ t ≦ 1$ ）と表す。放物線 $y = x^{2} + a x + b$ がこの点を通る条件は $b = - t^{2} + (2 - a) t$ であるから，固定した $a$ に対して， $t$ が $[0, 1]$ を動くときの2次関数 $ϕ (t) = - t^{2} + (2 - a) t$ の値域を求めればよい。下端は端点 $t = 0, 1$ の小さい方，上端は頂点が区間内に入るかどうかで場合分けする。最後に $a = 0, 1, 2$ の境界も含めて，不等式で図示できる形にまとめる。

解答

線分 $L$ は原点と点 $(1, 2)$ を結ぶ線分であるから，その上の点は $(t, 2 t) (0 ≦ t ≦ 1)$ と表される。

曲線 $y = x^{2} + a x + b$ が $(t, 2 t)$ を通る条件は $2 t = t^{2} + a t + b$ である。したがって $b = - t^{2} + (2 - a) t$ となる。

よって，固定した $a$ に対して $ϕ (t) = - t^{2} + (2 - a) t (0 ≦ t ≦ 1)$ の値域が，その $a$ に対して許される $b$ の範囲である。

まず下端を求める。 $ϕ (t)$ は上に凸の2次関数なので，閉区間 $[0, 1]$ での最小値は端点のどちらかでとる。端点の値は $ϕ (0) = 0, ϕ (1) = 1 - a$ である。したがって $\min ϕ (t) = {\begin{cases} 0 & (a ≦ 1), \\ 1 - a & (a ≧ 1) \end{cases}$ である。

次に上端を求める。 $ϕ (t)$ の頂点は $t = \frac{2 - a}{2}$ である。この頂点が $[0, 1]$ に入るのは $0 ≦ \frac{2 - a}{2} ≦ 1$ すなわち $0 ≦ a ≦ 2$ のときである。 $a < 0$ のときは頂点が $1$ より右にあるので， $[0, 1]$ では増加し，最大値は $ϕ (1) = 1 - a$ である。 $0 ≦ a ≦ 2$ のときは頂点で最大となり， $\max ϕ (t) = ϕ (\frac{2 - a}{2}) = \frac{(2 - a)^{2}}{4}$ である。 $a > 2$ のときは頂点が $0$ より左にあるので， $[0, 1]$ では減少し，最大値は $ϕ (0) = 0$ である。

以上を合わせると，求める $(a, b)$ の集合は ${\begin{cases} 0 ≦ b ≦ 1 - a & (a < 0), \\ 0 ≦ b ≦ \frac{(2 - a)^{2}}{4} & (0 ≦ a ≦ 1), \\ 1 - a ≦ b ≦ \frac{(2 - a)^{2}}{4} & (1 ≦ a ≦ 2), \\ 1 - a ≦ b ≦ 0 & (a > 2) \end{cases}$ で表される部分である。境界線も，線分 $L$ の端点または内部の点を共有点とする場合に対応するので，すべて含まれる。

したがって図示すると，直線 $b = 0$ ，直線 $b = 1 - a$ ，放物線 $b = \frac{(2 - a)^{2}}{4}$ で囲まれる上の範囲を， $a = 0, 1, 2$ を境に上記のようにつないだ領域である。

総評

難度6、計算量5。線分上の点をパラメータ表示し、 $a b$ 平面での値域問題に変換するのが核心である。目安は20分程度で、 $b = - t^{2} + (2 - a) t$ を得たあと、 $t \in [0, 1]$ における最大・最小を丁寧に分けることが採点の中心になる。下端は端点比較、上端は頂点が区間に入るかで決まるため、 $a = 0, 1, 2$ の境界を落としやすい。図示問題なので、最後に境界を含むかどうかも確認しておきたい。

出典: 京都大学 2005年度前期文系・理系共通数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

方針

解答

総評

京都大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系数学第1問