京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

$0\leqq x\leqq 3$ で考える。関数 $f(u)$ は、$0\leqq u\leqq 1$ では $f(u)=u$、$u>1$ では $f(u)=0$ である。ここでは $$u={\displaystyle \frac{x^2}{k}}$$ であり、$k$ は自然数なので $u\geqq 0$ である。

したがって $f\left({\displaystyle \frac{x^2}{k}}\right)$ が0でないのは ${\displaystyle \frac{x^2}{k}}\leqq 1$ のときである。$x\geqq 0$ だから、これは $$0\leqq x\leqq \sqrt{k}$$ と同値である。この範囲では $$f\left({\displaystyle \frac{x^2}{k}}\right)={\displaystyle \frac{x^2}{k}}$$ である。

まず $1\leqq k\leqq 9$ のとき、$\sqrt{k}\leqq 3$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{3}f\left({\displaystyle \frac{x^2}{k}}\right)dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\sqrt{k}}{\displaystyle \frac{x^2}{k}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{k}}{\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_0^{\sqrt{k}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{k}}{3}}}\end{array}$$である。

次に $k\geqq 9$ のとき、$0\leqq x\leqq 3$ なら常に $$x\leqq \sqrt{k}$$ である。したがって積分区間全体で $$f\left({\displaystyle \frac{x^2}{k}}\right)={\displaystyle \frac{x^2}{k}}$$ となり、$${\int }_0^{3}f\left({\displaystyle \frac{x^2}{k}}\right)dx={\int }_0^3{\displaystyle \frac{x^2}{k}}dx={\displaystyle \frac{9}{k}}$$である。 $k=9$ ではどちらの式も $1$ になり一致する。したがって$${\int }_0^{3}f\left({\displaystyle \frac{x^2}{k}}\right)dx=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\sqrt{k}}{3}}& (1\leqq k\leqq 9),\\ {\displaystyle \frac{9}{k}}& (k\geqq 10)\end{array}$$である。