京都大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
直線と放物線の交点の $x$ 座標は $x^2+x=kx+k-1$ すなわち $x^2+(1-k)x-(k-1)=0$ の解である。この2次方程式の判別式を $D$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =(1-k{)}^2+4(k-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =k^2+2k-3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(k-1)(k+3)\mathrm{.}}\end{array}$$相異なる2点で交わるための条件は $D>0$ であるから、$$k<-3\text{または}k>1$$ である。

(2)
次に、この条件のもとで2つの交点の $x$ 座標を $\alpha <\beta$ とおく。区間 $[\alpha ,\beta ]$ では直線が放物線の上にあるので、囲まれる面積 $S$ は$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }\{kx+k-1-(x^2+x)\}dx$$である。ここで2次方程式の根が $\alpha ,\beta$ であることから $$kx+k-1-(x^2+x)=-(x-\alpha )(x-\beta )=(x-\alpha )(\beta -x)\mathrm{.}$$ よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\beta -\alpha }t\{(\beta -\alpha )-t\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、交点を結ぶ線分は直線 $y=kx+k-1$ 上にあるので、$x$ 座標の差を $\beta -\alpha$ とすると、$y$ 座標の差は $k(\beta -\alpha )$ である。したがって $$L=(\beta -\alpha )\sqrt{1+k^2}\mathrm{.}$$ 従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{S}{L^3}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}}{(\beta -\alpha {)}^3(1+k^2{)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6(1+k^2{)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $k<-3$ または $k>1$ である。関数 ${\displaystyle \frac{1}{6(1+k^2{)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}}$ は $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }$ が小さいほど大きいので、許される範囲では $k\to 1+0$ のとき最大値に近づく。ただし $k=1$ は交点が2点でないため含まれない。よって値域は $$0<{\displaystyle \frac{S}{L^3}}<{\displaystyle \frac{1}{12\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$ 下限 $0$ は $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$ で近づくだけで、これも実際には取らない。

交点方程式の判別式 $D$ は2根の差の2乗でもある。面積と弦長をともに $\sqrt{D}$ で表し、比を直接整理する。

(1)
交点の $x$ 座標は$$x^2+(1-k)x-(k-1)=0$$の2根である。判別式は$$D=(1-k{)}^2+4(k-1)=(k-1)(k+3)$$だから、相異なる2交点をもつ条件は$$k<-3\text{または}k>1$$である。

(2)
2根を $\alpha <\beta$ とすると、2次方程式は最高次係数が1なので$$\beta -\alpha =\sqrt{D}\mathrm{.}$$直線と放物線の差は$$(x-\alpha )(\beta -x)$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}={\displaystyle \frac{D^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$また直線の傾きは $k$ なので$$L=\sqrt{1+k^2}(\beta -\alpha )=\sqrt{D(1+k^2)}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{S}{L^3}}={\displaystyle \frac{1}{6(1+k^2{)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}}\mathrm{.}$$許される $k$ のうち絶対値が最も小さくなる境界は $k=1$ であるが、$k=1$ 自体は含まれない。また $\mid k\mid \to \mathrm{\infty }$ で値は0へ近づく。よって値域は$$0<{\displaystyle \frac{S}{L^3}}<{\displaystyle \frac{1}{12\sqrt{2}}}$$である。