京都大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$AD=x$, $DC=1-x$ とする。平面内で $A,C$ から直線 $BD$ までの距離をそれぞれ $h_A,h_C$、折った後の二面角を $\varphi$ とする。四面体の体積は$$V={\displaystyle \frac{1}{6}}BD{h}_A{h}_C\sin \varphi \mathrm{.}$$固定した $D$ に対しては $\sin \varphi \leqq 1$ だから、二面角が直角のとき最大となる。

元の正三角形の面積は ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$ である。面積比から$${\displaystyle \frac{1}{2}}BD{h}_A={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}x,{\displaystyle \frac{1}{2}}BD{h}_C={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(1-x)\mathrm{.}$$また座標または余弦定理により$$B{D}^2=x^2-x+1=1-x(1-x)\mathrm{.}$$したがって $D$ を固定したときの最大体積は$$V(x)={\displaystyle \frac{x(1-x)}{8\sqrt{1-x(1-x)}}}\mathrm{.}$$$u=x(1-x)$ とおくと $$0<u\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であり、${\displaystyle \frac{u}{\sqrt{1-u}}}$ はこの範囲で単調増加する。よって $u$ が最大の $$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$$、すなわち $D$ が $AC$ の中点のとき体積も最大である。その値は$$V_{\max }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{8\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}}={\displaystyle \frac{1}{16\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{48}}\mathrm{.}$$

固定した $D$ では二面角を直角にするのが最善である。その最大体積を $u=AD\cdot DC$ だけで表し、$u\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$ を使う。

$AD=x$, $DC=1-x$ とし$$u=x(1-x)$$とおく。元の正三角形で$$B{D}^2=x^2-x+1=1-u\mathrm{.}$$辺 $BD$ に対する三角形 $ABD,CBD$ の高さを $h_A,h_C$、折った二面角を $\varphi$ とすると$$V={\displaystyle \frac{1}{6}}BD{h}_A{h}_C\sin \varphi \mathrm{.}$$固定した $D$ では $\sin \varphi \leqq 1$ だから、二面角が直角のとき最大になる。

面積比から$$h_A={\displaystyle \frac{\sqrt{3}x}{2BD}},h_C={\displaystyle \frac{\sqrt{3}(1-x)}{2BD}}\mathrm{.}$$したがって$$V\leqq {\displaystyle \frac{u}{8\sqrt{1-u}}}\mathrm{.}$$また$$u=x(1-x)\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$であり、正の範囲では ${\displaystyle \frac{u}{\sqrt{1-u}}}$ は $u$ とともに増加する。よって等号は$$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$$すなわち $D$ が $AC$ の中点で、かつ二面角が直角のときに成り立つ。そのとき$$V_{\max }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{8\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{48}}\mathrm{.}$$