京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

輪の玉に，ある向きを決めて順に番号を付ける。番号は $2n$ を法として考える。始点を $i$ とし，そこから連続する $n$ 個の玉を取り出したとき，その中に含まれる白玉の個数を $w_i$ とする。

始点を $i$ から $i+1$ にずらすと，取り出す $n$ 個の玉から1個が外れ，新しく1個が入るだけである。したがって $\mathrm{\mid }{w}_{i+1}-w_i\mathrm{\mid }\leqq 1$ である。また，始点を $n$ 個分ずらした連続 $n$ 個の玉は，もとの $n$ 個のちょうど残りである。白玉は全部で $2k$ 個だから $w_{i+n}=2k-w_i$ が成り立つ。

ある $i$ について $w_i=k$ なら，その連続する $n$ 個の両端でひもを切ればよい。このとき残りの $n$ 個にも白玉は $2k-k=k$ 個あり，黒玉はそれぞれ $n-k$ 個である。

以下，すべての $i$ で $w_i\mathrm{\ne }k$ と仮定して矛盾を導く。ある $i$ で $w_i>k$ なら $w_{i+n}=2k-w_i<k$ である。始点を $i$ から $i+n$ まで1つずつ動かす間，白玉数は整数値で，しかも1回に高々1しか変化しない。$k$ より大きい値から $k$ より小さい値へ移るには，途中で必ず $k$ をとる。これは仮定に反する。

ある $i$ で $w_i<k$ の場合も，反対側では $w_{i+n}>k$ となり，同じ議論で途中に $k$ をとる場所が存在する。したがって，必ずある始点 $j$ について $w_j=k$ となる。よってその連続する $n$ 個の両端で切れば，2組はいずれも白玉 $k$ 個，黒玉 $n-k$ 個からなる。