京都大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

取り出した3枚の番号を小さい順に$$a,a+d,a+2d$$と書く。3枚は相異なるので $d\geqq 1$ であり，最大の番号が $n$ 以下であるための条件は$$a+2d\leqq n$$である。

固定した $d$ に対して，$a$ は $1\leqq a\leqq n-2d$ を満たすので $n-2d$ 通りある。

$n=2m$ のときは $1\leqq d\leqq m-1$ だから，有利な選び方は$$\sum _{d=1}^{m-1}(2m-2d)=m(m-1)$$通りである。全事象は$${\displaystyle \frac{(2m)(2m-1)(2m-2)}{6}}$$通りなので，確率は$${\displaystyle \frac{m(m-1)}{{\displaystyle \frac{(2m)(2m-1)(2m-2)}{6}}}}={\displaystyle \frac{3}{2(2m-1)}}$$となる。

$n=2m+1$ のときは $1\leqq d\leqq m$ だから，有利な選び方は$$\sum _{d=1}^m(2m+1-2d)=m^2$$通りである。全事象は$${\displaystyle \frac{(2m+1)(2m)(2m-1)}{6}}$$通りなので，確率は$${\displaystyle \frac{m^2}{{\displaystyle \frac{(2m+1)(2m)(2m-1)}{6}}}}={\displaystyle \frac{3m}{(2m+1)(2m-1)}}$$となる。

したがって，求める確率は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3}{2(2m-1)}}& (n=2m),\\ {\displaystyle \frac{3m}{(2m+1)(2m-1)}}& (n=2m+1)\end{array}$$である。

中央の札を $j$ と固定する。左右へ同じ距離だけ離れた札の選び方は $\min (j-1,n-j)$ 通りなので，これを中央の位置について足し上げる。

3枚が等差数列になるとき，中央の番号を $j$ とする。中央から左右へ同じ正整数だけ離れた番号を取るので，固定した $j$ に対する選び方は$$\min (j-1,n-j)$$通りである。したがって有利な選び方の総数は$$\sum _{j=2}^{n-1}\min (j-1,n-j)$$となる。

$n=2m$ のときは$$(1+2+\cdots +(m-1))+((m-1)+\cdots +2+1)=m(m-1)$$通りである。$n=2m+1$ のときは$$(1+2+\cdots +m)+((m-1)+\cdots +2+1)=m^2$$通りである。

これらを全事象$${\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{6}}$$で割れば，$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3}{2(2m-1)}}& (n=2m),\\ {\displaystyle \frac{3m}{(2m+1)(2m-1)}}& (n=2m+1)\end{array}$$を得る。