京都大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ である。また $$a^2+ab+b^2={(a+{\displaystyle \frac{b}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}{b}^2$$ なので，$(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$ なら $a^2+ab+b^2>0$ である。今回は $a^3-b^3=65\mathrm{\ne }0$ だから $(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$ であり，したがって $a-b>0$ である。 $d=a-b$ とおくと，$d$ は65の正の約数である。よって $d=1,5,13,65$ のいずれかである。 $b=a-d$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2+ab+b^2}& {\displaystyle =a^2+a(a-d)+(a-d{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3a^2-3ad+d^2}\end{array}$$である。したがって $d(3a^2-3ad+d^2)=65$ を満たす整数 $a$ を調べればよい。 $d=1$ のとき $3a^2-3a+1=65$ すなわち $3a^2-3a-64=0$ である。この判別式は $$(-3{)}^2-4\cdot 3\cdot (-64)=777$$ で，平方数ではないので整数解はない。 $d=5$ のとき $5(3a^2-15a+25)=65$ より $3a^2-15a+25=13$ である。すなわち $a^2-5a+4=0$ だから $(a-1)(a-4)=0$ となる。よって $a=1,4$ である。このとき $b=a-5$ なので $(a,b)=(1,-4),(4,-1)$ を得る。 $d=13$ のとき $13(3a^2-39a+169)=65$ より $3a^2-39a+169=5$ である。すなわち $3a^2-39a+164=0$ であり，判別式は $${39}^2-4\cdot 3\cdot 164=-447<0$$ なので実数解をもたない。 $d=65$ のときは $65(3a^2-195a+4225)=65$ より $3a^2-195a+4224=0$ である。判別式は $${195}^2-4\cdot 3\cdot 4224=-12663<0$$ なので実数解をもたない。

以上より，求める整数の組は $(a,b)=(1,-4),(4,-1)$ である。