京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系（甲）数学 第3問

$a+b+c+d=0$ より $d=-(a+b+c)$ である。これを $ad-bc+p=0$ に代入すると $-a(a+b+c)-bc+p=0$ すなわち $a^2+ab+ac+bc=p$ である。左辺は因数分解できて $(a+b)(a+c)=p$ となる。

ここで $a,b,c,d$ は整数であり、$b\geqq c$ だから $a+b\geqq a+c$ である。$p$ は3以上の素数なので、整数の組 $(a+b,a+c)$ は、順序も考えると $(p,1),(1,p),(-1,-p),(-p,-1)$ のいずれかである。ただし $a+b\geqq a+c$ より、候補は $$(a+b,a+c)=(p,1),(-1,-p)$$ に限られる。

負の候補 $a+b=-1,a+c=-p$ を仮定する。このとき $b=-a-1,c=-a-p$ であり、さらに $d=-(a+b+c)=a+p+1$ となる。大小関係 $a\geqq b$ から $a\geqq -a-1$ すなわち $2a+1\geqq 0$ である。一方、$c\geqq d$ から $-a-p\geqq a+p+1$ すなわち $2a+2p+1\leqq 0$ である。ところが $p\geqq 3$ なので、この2つは同時に成り立たない。したがって負の候補は不適である。

よって $a+b=p,a+c=1$ である。したがって $b=p-a,c=1-a$ であり、和の条件から $d=-(a+b+c)=a-p-1$ である。

残りの大小関係を調べる。まず $a\geqq b=p-a$ より $$a\geqq {\displaystyle \frac{p}{2}}$$ である。また $c=1-a\geqq d=a-p-1$ より $$2a\leqq p+2,a\leqq {\displaystyle \frac{p+2}{2}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{p}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{p+2}{2}}$$ である。$p$ は3以上の素数なので奇数であり、この範囲にある整数 $a$ は $$a={\displaystyle \frac{p+1}{2}}$$ だけである。

よって$${\displaystyle a={\displaystyle \frac{p+1}{2}},b={\displaystyle \frac{p-1}{2}},c=-{\displaystyle \frac{p-1}{2}},d=-{\displaystyle \frac{p+1}{2}}}$$である。実際、この4つは和が0で、大小関係も満たし、$ad-bc=-p$ となるので条件を満たす。

$p$は奇素数なので、長さ1の閉区間に入る整数は中央の1個だけである。