京都大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ である。また $$a^2+ab+b^2={(a+{\displaystyle \frac{b}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}{b}^2$$ なので，$(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$ なら正である。今回は $a^3-b^3=217\mathrm{\ne }0$ だから $a^2+ab+b^2>0$ であり，したがって $a-b>0$ である。 $d=a-b$ とおくと，$d$ は217の正の約数である。$217=7\cdot 31$ だから $d=1,7,31,217$ である。 $b=a-d$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2+ab+b^2}& {\displaystyle =a^2+a(a-d)+(a-d{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3a^2-3ad+d^2}\end{array}$$である。よって $d(3a^2-3ad+d^2)=217$ を満たす整数 $a$ を調べればよい。 $d=1$ のとき $3a^2-3a+1=217$ である。すなわち $3a^2-3a-216=0$ なので $a^2-a-72=0$ である。よって $(a-9)(a+8)=0$ となり，$a=9,-8$ を得る。このとき $b=a-1$ なので $(a,b)=(9,8),(-8,-9)$ である。 $d=7$ のとき $7(3a^2-21a+49)=217$ より $3a^2-21a+49=31$ である。すなわち $a^2-7a+6=0$ だから $(a-1)(a-6)=0$ となる。よって $a=1,6$ であり，$b=a-7$ から $(a,b)=(1,-6),(6,-1)$ である。 $d=31$ のとき $31(3a^2-93a+961)=217$ より $3a^2-93a+961=7$ である。すなわち $3a^2-93a+954=0$ であり，3で割ると $a^2-31a+318=0$ である。この判別式は ${31}^2-4\cdot 318=-311<0$ なので整数解はない。 $d=217$ のとき $$217(3a^2-651a+{217}^2)=217$$ より $3a^2-651a+47088=0$ である。この2次式の判別式は $${651}^2-4\cdot 3\cdot 47088<0$$ であり，整数解はない。

以上より，求める整数の組は $$(a,b)=(-8,-9),(1,-6),(6,-1),(9,8)$$ である。