京都大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

共有点の $x$ 座標は $$\cos x={\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}}$$ を満たす。区間は $$2k\pi \leqq x\leqq (2k+1)\pi$$ であり，$k$ は正の整数である。 $$u={\displaystyle \frac{x}{2}}-k\pi$$ とおくと $$0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}},x=2k\pi +2u$$ である。右端 $$u={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$，すなわち $x=(2k+1)\pi$ では $\cos x=-1$ である一方，$${\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}}>-1$$ なので共有点にはならない。したがって，解を探す範囲は $$0\leqq u<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ でよい。

半角公式 $$\cos x={\displaystyle \frac{1-{\tan }^2({\displaystyle \frac{x}{2}})}{1+{\tan }^2({\displaystyle \frac{x}{2}})}}$$ を用いる。この区間では $${\displaystyle \frac{x}{2}}=k\pi +u$$ なので $$\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}=\tan u\geqq 0$$ である。共有点条件は $${\displaystyle \frac{1-{\tan }^{2}u}{1+{\tan }^{2}u}}={\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}}$$ であるから，整理すると ${\tan }^{2}u=x^2$ である。$\tan u\geqq 0$ かつ $x>0$ より，これは $\tan u=x=2k\pi +2u$ と同値である。

そこで $h(u)=\tan u-2u$ とおく。$u=0$ では $h(0)=0<2k\pi$ であり，$$u\to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-0$$ のとき $h(u)\to +\mathrm{\infty }$ である。したがって，中間値の考え方により $h(u)=2k\pi$ を満たす $u$ が存在する。よって $C_1$ と $C_2$ は共有点をもつ。

その共有点の $x$ 座標を $x_0$ とする。上の同値変形より $$\tan {\displaystyle \frac{x_0}{2}}=x_0$$ である。したがって半角公式から $$\sin x_0={\displaystyle \frac{2\tan ({\displaystyle \frac{x_0}{2}})}{1+{\tan }^2({\displaystyle \frac{x_0}{2}})}}={\displaystyle \frac{2x_0}{1+x_0^2}}$$ である。また共有点なので $$\cos x_0={\displaystyle \frac{1-x_0^2}{1+x_0^2}}$$ である。

曲線 $C_1:y=\cos x$ の $x=x_0$ における接線は $$y=\cos x_0-\sin x_0(X-x_0)$$ である。ここで $X=0$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y}& {\displaystyle =\cos x_0+x_0\sin x_0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-x_0^2}{1+x_0^2}}+x_0\cdot {\displaystyle \frac{2x_0}{1+x_0^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+x_0^2}{1+x_0^2}}=1}\end{array}$$である。したがって，この接線は点 $(0,1)$ を通る。

(2)

(1) より，共有点の個数は $$h(u)=2k\pi (0\leqq u<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$ の解の個数と等しい。ただし $h(u)=\tan u-2u$ である。

微分すると $$h^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}u}}-2$$ である。$$0\leqq u<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ では $${\cos }^{2}u>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ なので $h^{\mathrm{\prime }}(u)<0$ である。また $$u={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ では $h^{\mathrm{\prime }}(u)=0$ である。したがって $$0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ では $h(u)\leqq h(0)=0<2k\pi$ であり，この範囲に解はない。

一方，$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<u<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ では $${\cos }^{2}u<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ なので $h^{\mathrm{\prime }}(u)>0$ である。よって $h(u)$ はこの区間で狭義に増加する。さらに $$h\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<2k\pi$$ であり，$$h(u)\to +\mathrm{\infty }(u\to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-0)$$ である。したがって $h(u)=2k\pi$ の解は $${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<u<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ にただ1つ存在する。

よって $C_1$ と $C_2$ の共有点はただ1つである。