京都大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

条件 $\alpha +\beta +\gamma =0$ を2乗すると$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2+2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=0$$である。さらに条件より $${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=0$$ なので $$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =0$$ を得る。

したがって，$\alpha ,\beta ,\gamma$ を3解にもつ3次方程式は $$(z-\alpha )(z-\beta )(z-\gamma )=0$$ であり，展開すると$$z^3-(\alpha +\beta +\gamma )z^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )z-\alpha \beta \gamma =0$$だから $$z^3-\alpha \beta \gamma =0$$ となる。

ここで $\alpha \beta \gamma \mathrm{\ne }0$ であることを確認する。もし例えば $\gamma =0$ なら，$\alpha +\beta =0$ であり，さらに ${\alpha }^2+{\beta }^2=0$ である。$\beta =-\alpha$ を代入すると $2{\alpha }^2=0$ より $\alpha =0$，したがって $\beta =0$ となる。これは3つの複素数が相異なることに反する。よって $\alpha \beta \gamma \mathrm{\ne }0$ である。 $\rho$ を $${\rho }^3=\alpha \beta \gamma$$ を満たす1つの複素数とする。また $$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$$ とおくと，${\omega }^3=1$，$1+\omega +{\omega }^2=0$ である。方程式 $z^3=\alpha \beta \gamma$ の3つの解は $\rho ,\rho \omega ,\rho {\omega }^2$ である。

これは，複素平面上で原点からの距離が等しく，偏角が120度ずつ異なる3点である。したがって3点 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を結んで得られる三角形は正三角形である。

$\gamma =-(\alpha +\beta )$ を代入し，$z={\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$ が $z^2+z+1=0$ を満たすことを用いて，3点の配置を直接決める。

$\gamma =-(\alpha +\beta )$ とおく。上で確認したように $\beta \mathrm{\ne }0$ である。条件 $${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=0$$ は $${\alpha }^2+{\beta }^2+(\alpha +\beta {)}^2=0$$ すなわち $${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=0$$ と同値である。$$z={\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$$ とおくと $z^2+z+1=0$ であるから $$z=\omega ,{\omega }^2$$ のいずれかである。例えば $\alpha =\omega \beta$ なら $$\gamma =-(1+\omega )\beta ={\omega }^2\beta$$ であり，3点は $\beta ,\omega \beta ,{\omega }^2\beta$ である。よってやはり正三角形である。