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京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

放物線C:y=x2と2直線l1:y=px−1，l2:y=−x−p+4は1点で交わるという．
このとき実数pの値を求めよ．

難易度4/ 10計算量3/ 10目安10分

図形と方程式　文字消去、式変形、場合分け

方針

3つのグラフが1点で交わるとは，まず2直線が共有する点をもち，その点が放物線 C 上にもあるということである。p=−1 では2直線が平行になって共有点をもたないので先に除く。p≠−1 のもとで2直線の交点の x 座標を p で表し，その点が y=x2 と y=px−1 の両方を満たす条件を整理する。最後に得られた候補が p=−1 でないことを確認する。

解答

p=−1 のとき，l1:y=−x−1,l2:y=−x+5 となり，2直線は平行で交わらない。したがって条件を満たさない。

以下，p≠−1 とする。2直線 l1,l2 の交点の x 座標は px−1=−x−p+4 より (p+1)x=5−p,x=5−pp+1 である。この交点が放物線 C:y=x2 上にもあるためには，交点の y 座標について px−1=x2 が成り立てばよい。ここに x=5−pp+1 を代入する。まず px−1=p(5−p)p+1−1=−p2+4p−1p+1 であるから，条件は −p2+4p−1p+1=(5−p)2(p+1)2 である。p≠−1 より両辺に (p+1)2 を掛けて (−p2+4p−1)(p+1)−(5−p)2=0 を得る。左辺を展開すると −p3+2p2+13p−26=0 すなわち p3−2p2−13p+26=0 である。これは (p−2)(p2−13)=0 と因数分解できる。したがって p=2,p=13,p=−13 である。いずれも p=−1 ではなく，実際に2直線は交点をもち，その交点は放物線上にある。よって求める値は p=2, 13, −13 である。

まず2直線の交点を求め，その点が放物線上にある条件へ落とす．

総評

交点条件を丁寧に読むだけの問題だが，p=−1 で2直線が平行になる例外を先に除く必要がある。目安は10分前後。交点の x 座標を代入した後は分母 p+1 を消して三次式にするだけなので，展開ミスを避けるために分子を一行ずつ書くとよい。別解として放物線と各直線の交点を先に求める方法もあるが，結局2直線の共有点条件に戻るため，本解の方が短い。

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出典: 京都大学 2006年度 第2次学力試験 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。