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京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系（甲）数学 第4問

△ABCにおいて、∠Aの二等分線とこの三角形の外接円との交点でAと異なる点をA′とする。同様に∠B,∠Cの二等分線とこの外接円との交点をそれぞれB′,C′とする。このとき3直線AA′,BB′,CC′は1点Hで交わり、この点Hは三角形A′B′C′の垂心と一致することを証明せよ。

難易度7/ 10計算量4/ 10目安30分

図形と方程式、論証・証明　円の性質、三角比の利用、図形的解釈

方針

3本の直線 AA′,BB′,CC′ はもとの三角形の角の二等分線なので、まず内心 H で交わる。次に A′ は、外接円上で弧 BC の中点になることを使う。同様に B′,C′ も対応する弧の中点である。弧の大きさを ∠A,∠B,∠C で表し、円周角を用いて AA′⊥B′C′、BB′⊥C′A′、CC′⊥A′B′ を示す。これにより、内心 H が三角形 A′B′C′ の3本の高さの交点、すなわち垂心であると分かる。

解答

∠A=α,∠B=β,∠C=γ とおく。直線 AA′、BB′、CC′ はそれぞれ △ABC の角の二等分線であるから、3直線は内心で交わる。この交点を H とする。

まず、A′ の位置を弧で見る。AA′ は ∠A の二等分線なので ∠BAA′=∠CAA′ である。同じ円で等しい円周角が見込む弧は等しいから BA′⌢=A′C⌢ である。したがって A′ は、A を含まない弧 BC の中点である。同様に、B′ は弧 CA の中点、C′ は弧 AB の中点である。

このことから、円周上の弧は順にAC′⌢=C′B⌢=γ,BA′⌢=A′C⌢=α,CB′⌢=B′A⌢=βと表せる。ただし弧の大きさを角度で表している。

ここで AA′⊥B′C′ を示す。円周角より ∠AA′C′=12AC′⌢=γ2 である。また ∠A′C′B′=12A′B′⌢ であり、C′ を含まない弧 A′B′ は A′C⌢+CB′⌢=α+β であるから∠A′C′B′=α+β2=180∘−γ2=90∘−γ2である。したがって、直線 AA′ と直線 B′C′ のなす角は γ2+(90∘−γ2)=90∘ であり、AA′⊥B′C′ が成り立つ。

同様に、頂点の文字を巡回させれば BB′⊥C′A′,CC′⊥A′B′ も成り立つ。

よって三角形 A′B′C′ において、直線 AA′ は頂点 A′ から辺 B′C′ に下ろした高さであり、直線 BB′ は頂点 B′ から辺 C′A′ に下ろした高さ、直線 CC′ は頂点 C′ から辺 A′B′ に下ろした高さである。これら3本はすべて点 H を通る。

したがって H は △A′B′C′ の垂心である。

A′,B′,C′はそれぞれ対辺に対する弧の中点。角の二等分線がA′B′C′の高さになる。

総評

難度7、計算量4。3直線の交点は元の三角形の内心である。後半ではA′,B′,C′が対応する弧の中点であることを示し、円周角でAA′⊥B′C′を証明する。1本を丁寧に示して残りを巡回的に処理すると読みやすい。弧の選び方と、どの円周角がどの弧を見るかを図と照合した。25分から30分が目安である。

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出典: 京都大学 2007年度 前期 数学（理系（甲））（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。