京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系（甲）数学 第3問

$AB=AC=s$ とする。$N$ は辺 $AB$ 上になく、$$AN:NB=2:1$$である。$N$ が $A$ 側の延長上にあると $AN<NB$ となるため条件を満たさない。したがって $N$ は $B$ 側の延長上にあり、$$AN=AB+BN=s+BN=2BN$$から $BN=s$ である。また $M$ は $AB$ の中点なので $MB=s\mathrm{/}2$ である。

$A=(0,0)$，$B=(s,0)$ と置き、$\mathrm{\angle }BAC=\theta$ とすると$$C=(s\cos \theta ,s\sin \theta ),M=({\displaystyle \frac{s}{2}},0),N=(2s,0)$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C{M}^2}& {\displaystyle =s^2\{{(\cos \theta -{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\sin }^2\theta \}=s^2({\displaystyle \frac{5}{4}}-\cos \theta ),}\\ {\displaystyle C{N}^2}& {\displaystyle =s^2\{(\cos \theta -2{)}^2+{\sin }^2\theta \}=s^2(5-4\cos \theta )=4C{M}^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $CN=2CM$ であり、$$MB:BN={\displaystyle \frac{s}{2}}:s=1:2=CM:CN$$となる。

点 $B$ は線分 $MN$ 上にある。三角形 $CMN$ に角の二等分線定理の逆を適用すると、$CB$ は $\mathrm{\angle }MCN$ の二等分線である。ゆえに$$\mathrm{\angle }BCM=\mathrm{\angle }MCB=\mathrm{\angle }BCN$$が成り立つ。

三角形 $CMN$ で、点 $B$ は角の二等分線の比を満たす。

長さを $AB=AC=2$ と規格化し、$A=(0,0)$，$B=(2,0)$，$M=(1,0)$，$N=(4,0)$ と置く。$C=(u,v)$ は $u^2+v^2=4$ を満たす。$CN=2CM$ を確かめ、$C$ から $M,N$ へ向かう2本の単位ベクトルの和が $CB$ と平行になることを示す。

相似によって $AB=AC=2$ としてよい。$$A=(0,0),B=(2,0),M=(1,0),N=(4,0)$$と置き、$C=(u,v)$ とする。$AC=2$ から$$u^2+v^2=4$$である。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C{M}^2}& {\displaystyle =(u-1{)}^2+v^2=5-2u,}\\ {\displaystyle C{N}^2}& {\displaystyle =(u-4{)}^2+v^2=20-8u=4C{M}^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって $CN=2CM$ である。

$C$ から $M,N$ へ向かう単位ベクトルの和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{\overrightarrow{CM}}{CM}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{CN}}{CN}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{CN}}{2CM}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(M-C)+(N-C)}{2CM}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2M+N-3C}{2CM}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $2M+N=(6,0)=3B$ だから、上式は$${\displaystyle \frac{3(B-C)}{2CM}}={\displaystyle \frac{3\overrightarrow{CB}}{2CM}}$$となる。2本の単位方向ベクトルの和は、そのなす角の内角二等分線の方向を向く。したがって $CB$ は $\mathrm{\angle }MCN$ を二等分し、$$\mathrm{\angle }BCM=\mathrm{\angle }BCN$$である。