京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,-1,1),\overrightarrow{AC}=C-A=(-2,0,2)$$である。ベクトル $(1,0,1)$ は $$(1,0,1)\cdot (-1,-1,1)=0,(1,0,1)\cdot (-2,0,2)=0$$ を満たすので，平面 $ABC$ の法線ベクトルにとれる。点 $A(2,1,0)$ を通るから，平面の方程式は $(x-2)+z=0$ すなわち $x+z=2$ である。

点 $D(1,3,7)$ からこの平面へ下ろした垂線は，法線方向 $(1,0,1)$ を用いて $$(x,y,z)=(1,3,7)+s(1,0,1)$$ と表せる。平面との交点を $H$ とすると $(1+s)+(7+s)=2$ だから $2s+8=2,s=-3$ である。したがって $$H=(1,3,7)-3(1,0,1)=(-2,3,4)$$ である。

点 $E$ は $D$ と平面 $ABC$ に関して対称であり，$H$ は線分 $DE$ の中点である。よって $$E=2H-D=2(-2,3,4)-(1,3,7)=(-5,3,1)$$ である。したがって $E(-5,3,1)$ である。

平面の法線ベクトルを求め，点と平面の符号付き距離に相当する係数を用いて，点 $D$ を法線方向へ直接反射する。

$$\overrightarrow{AB}=(-1,-1,1),\overrightarrow{AC}=(-2,0,2)$$であり，$n=(1,0,1)$ は両方に垂直である。よって平面 $ABC$ の方程式は，点 $A(2,1,0)$ を通ることから$$x+z-2=0$$である。

一般に平面 $n\cdot X-c=0$ に関する点 $D$ の反射点 $E$ は$$E=D-2{\displaystyle \frac{n\cdot D-c}{\parallel n{\parallel }^2}}n$$で与えられる。ここでは $D=(1,3,7)$，$c=2$ であり，$$n\cdot D-c=1+7-2=6,\parallel n{\parallel }^2=2$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle =(1,3,7)-2{\displaystyle \frac{6}{2}}(1,0,1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1,3,7)-6(1,0,1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-5,3,1)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める点は $E(-5,3,1)$ である。