京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

線分 $OP$ 上の点は，$0\leqq s\leqq 1$ を用いて $s(5+t,9+2t,5+3t)$ と表せる。一方，線分 $AB$ 上の点は，$0\leqq u\leqq 1$ を用いて $$A+u(B-A)=(0,1,2)+u(2,2,-2)=(2u,1+2u,2-2u)$$ と表せる。

この2点が一致するとして各成分を比較すると
\begin{equation*}
s(5+t)=2u,　　(1)
\end{equation*}

\begin{equation*}
s(9+2t)=1+2u,　　(2)
\end{equation*}

\begin{equation*}
s(5+3t)=2-2u.　　(3)
\end{equation*}
(2)から(1)を引くと $s(4+t)=1$ である。また，(3)に(1)を加えると $s(10+4t)=2$ すなわち $s(5+2t)=1$ である。したがって $s(4+t)=s(5+2t)$ である。左辺は1なので $s\mathrm{\ne }0$ であり，$4+t=5+2t$ から $t=-1$ を得る。このとき $s(4+t)=1$ より $3s=1,s={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。さらに(1)より $${\displaystyle \frac{1}{3}}(5-1)=2u,u={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。$$s={\displaystyle \frac{1}{3}}$$，$$u={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ はどちらも $[0,1]$ に入るので，実際に線分 $OP$ と線分 $AB$ は交わる。

交点は線分 $AB$ の表示に代入して $$(2u,1+2u,2-2u)=({\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{7}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}})$$ である。よって交点の座標は $({\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{7}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}})$ であり，そのときの実数は $t=-1$ である。