京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系（乙）数学 第5問

仮定より$$A^m{\vec{x}}_0={\vec{x}}_m={\vec{x}}_0$$である。また ${\vec{x}}_1=A{\vec{x}}_0$ だから$$A^m{\vec{x}}_1=A^{m}A{\vec{x}}_0=A(A^m{\vec{x}}_0)=A{\vec{x}}_0={\vec{x}}_1$$である。したがって $A^m$ は ${\vec{x}}_0,{\vec{x}}_1$ をともに固定する。

ここで ${\vec{x}}_0,{\vec{x}}_1$ が1次独立であることを示す。もし1次従属なら、${\vec{x}}_0\mathrm{\ne }\vec{0}$ なので、ある実数 $c$ を用いて$${\vec{x}}_1=c{\vec{x}}_0$$と書ける。このとき帰納的に ${\vec{x}}_n=c^n{\vec{x}}_0$ である。$c^m=1$ であり $c$ は実数だから、$c=1$、または $m$ が偶数で $c=-1$ である。

$c=1$ なら ${\vec{x}}_1={\vec{x}}_0$ となり、初めて一致する時刻は1である。$c=-1$ なら ${\vec{x}}_2={\vec{x}}_0$ となり、初めて一致する時刻は2である。どちらも $m\geqq 3$ に反する。よって ${\vec{x}}_0,{\vec{x}}_1$ は1次独立である。

任意の2次列ベクトル $\vec{y}$ は、実数 $\alpha ,\beta$ を用いて$$\vec{y}=\alpha {\vec{x}}_0+\beta {\vec{x}}_1$$と一意に表せる。したがって$$A^m\vec{y}=\alpha A^m{\vec{x}}_0+\beta A^m{\vec{x}}_1=\alpha {\vec{x}}_0+\beta {\vec{x}}_1=\vec{y}\mathrm{.}$$全ての列ベクトルを変えない2次正方行列は単位行列だから、$A^m$ は単位行列である。

$A^m$は${\vec{x}}_0$だけでなく${\vec{x}}_1=A{\vec{x}}_0$も固定する。2本が基底なら結論が出る。

まず${\vec{x}}_0,{\vec{x}}_1$の一次独立性を最小周期から示す。この2本を列にもつ行列$B$を作れば、$A^{m}B=B$となる。$B$が正則なので右から逆行列を掛ける。

仮定から$$A^m{\vec{x}}_0={\vec{x}}_0\mathrm{.}$$また$A$と$A^m$は可換なので$$A^m{\vec{x}}_1=A^{m}A{\vec{x}}_0=A(A^m{\vec{x}}_0)={\vec{x}}_1\mathrm{.}$$もし${\vec{x}}_1=c{\vec{x}}_0$なら$${\vec{x}}_n=c^n{\vec{x}}_0\mathrm{.}$$$c^m=1$で$c$は実数だから、$c=1$、または$c=-1$である。前者では1回目、後者では2回目に${\vec{x}}_0$へ戻り、最小の$m\geqq 3$に反する。したがって${\vec{x}}_0,{\vec{x}}_1$は一次独立である。

この2本を列にもつ行列を$$B=\left(\begin{array}{cc}\mid & \mid \\ {\vec{x}}_0& {\vec{x}}_1\\ \mid & \mid \end{array}\right)$$とする。一次独立性により$B$は正則である。上の2つの固定関係を列ごとに並べると$$A^{m}B=B\mathrm{.}$$右から$B^{-1}$を掛ければ$$A^m=E$$を得る。