京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$x\leqq 0$ の部分の放物線は，頂点が $(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}})$ であるから $$y=a{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ と書ける。原点を通るので $$0=a\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ より $a=-1$ である。したがって $$f(x)=-{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}=-x^2-x(x\leqq 0)$$ である。

グラフは原点に関して点対称だから，$f(-x)=-f(x)$ である。$x\geqq 0$ のとき $-x\leqq 0$ なので $$f(x)=-f(-x)=-\{-(-x{)}^2-(-x)\}=x^2-x$$ である。 $x=-1$ では $$f(-1)=0,f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x-1(x<0)$$ より $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=1$ である。したがって接線は $y=x+1$ である。

左側では $x+1-(-x^2-x)=(x+1{)}^2$ であり，$x=-1$ で接して $x=0$ まで囲まれる。右側では接線と $y=x^2-x$ の交点を求めると $x+1=x^2-x$ すなわち $x^2-2x-1=0$ である。$x\geqq 0$ の交点は $x=1+\sqrt{2}$ である。よって求める面積 $S$ は$$S={\int }_{-1}^0\{x+1-(-x^2-x)\}dx+{\int }_0^{1+\sqrt{2}}\{x+1-(x^2-x)\}dx$$である。

第1項は $${\int }_{-1}^0(x+1{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。第2項は，$a=1+\sqrt{2}$ とおくと$${\int }_0^a(-x^2+2x+1)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+x]}_0^a=-{\displaystyle \frac{a^3}{3}}+a^2+a$$である。$a^2=3+2\sqrt{2}$，$a^3=7+5\sqrt{2}$ より $$-{\displaystyle \frac{a^3}{3}}+a^2+a={\displaystyle \frac{5+4\sqrt{2}}{3}}$$ である。したがって $$S={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{5+4\sqrt{2}}{3}}=2+{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}$$ である。求める面積は $2+{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}$ である。