京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系（甲）数学 第6問

平面 $$z={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ で単位球面を切ると，切り口の円の中心は $(0,0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$ であり，半径は $$\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

この平面内で，中心から $A$ と $B$ へ向かうベクトルは，$xy$ 成分だけを見れば$$({\displaystyle \frac{1}{2}},0),({\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})$$である。これらの内積は $1\mathrm{/}8$，それぞれの長さは $1\mathrm{/}2$ なので，中心角 ${\theta }_1$ は $$\cos {\theta }_1={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}8}{(1\mathrm{/}2)(1\mathrm{/}2)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ を満たす。短い方の弧なので $${\theta }_1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ であり，$$l_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ である。

次に，3点 $O,A,B$ を通る平面は原点を通るので，球面との切り口は半径1の大円である。したがって $l_2$ は，単位ベクトル $A$ と $B$ のなす中心角に等しい。内積を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A\cdot B}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+0\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{7}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$\cos l_2={\displaystyle \frac{7}{8}}$$ である。

一方 $$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ であり，$${\left({\displaystyle \frac{7}{8}}\right)}^2={\displaystyle \frac{49}{64}}>{\displaystyle \frac{48}{64}}={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2$$より $${\displaystyle \frac{7}{8}}>{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。$0<l_2<\pi \mathrm{/}2$ で余弦は減少するから，$$l_2<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}=l_1$$ となる。したがって $l_1>l_2$ が示された。

同じ弦でも、小円と大円では中心角と弧長が異なる。

2つの円に共通する弦 $AB$ の長さを求める。半径 $r$、中心角 $\theta$ の円で弦長は $2r\sin (\theta \mathrm{/}2)$ だから、小円と大円の中心角を正弦の大小だけで比較する。逆三角関数は使わない。

まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle AB}& {\displaystyle =\sqrt{{({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2+{(0-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{3}{16}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}$$である。

小円の半径は $1\mathrm{/}2$ である。その中心角を $\alpha$ とすると、弦長の公式から$${\displaystyle \frac{1}{2}}=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$$である。短い弧なので $0<\alpha <\pi$ であり、$$\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$から $\alpha =\pi \mathrm{/}3$ を得る。よって$$l_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{.}$$大円の半径は1である。その中心角を $\beta$ とすると$${\displaystyle \frac{1}{2}}=2\sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}},\sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$ここで$$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}>{\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。最後の不等式は$$\sqrt{6}-\sqrt{2}>1$$と同値であり、$\sqrt{6}>1+\sqrt{2}$ の両辺を2乗して$$6>3+2\sqrt{2}$$を確認すればよい。

$0<\beta \mathrm{/}2<\pi \mathrm{/}2$ で正弦は増加するから$${\displaystyle \frac{\beta }{2}}<{\displaystyle \frac{\pi }{12}},\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{.}$$大円の半径は1なので $l_2=\beta$ である。したがって$$l_2<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}=l_1$$が示された。