京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系（乙）数学 第4問

$$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$$とおく。$A,B,C$ は中心 $O$、半径 $r$ の円上にあるので$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=r$$である。

$P$ は $AB$ を $2:3$ に内分するから$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{3\vec{a}+2\vec{b}}{5}}\mathrm{.}$$同様に$$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{3\vec{b}+2\vec{c}}{5}},\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{3\vec{c}+2\vec{a}}{5}}$$である。したがって$$25\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2=13r^2+12\vec{a}\cdot \vec{b},$$また同様に$$25\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2=13r^2+12\vec{b}\cdot \vec{c},25\mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}{\mathrm{\mid }}^2=13r^2+12\vec{c}\cdot \vec{a}$$である。

$O$ が三角形 $PQR$ の外心であることから3つの距離は等しい。よって$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}$$となる。一方$$A{B}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=2r^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$$であり、$B{C}^2,C{A}^2$ も同様に表せるから$$AB=BC=CA$$を得る。したがって三角形 $ABC$ は正三角形である。

逆に $ABC$ が正三角形なら3組の内積が等しく、上の式から $OP=OQ=OR$ となるので、実際に $O$ は $PQR$ の外心である。

$OP=OQ=OR$を位置ベクトルで展開すると、元の3辺の弦長が等しいことへ戻る。