京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系（乙）数学 第1問

(1) 積分を2つに分けると$${\int }_0^2{\displaystyle \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}}dx={\int }_0^2{\displaystyle \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}}dx+{\int }_0^2{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}}\mathrm{.}$$それぞれの原始関数は$$2\sqrt{x^2+4},\log (x+\sqrt{x^2+4})$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}}dx}& {\displaystyle =2(2\sqrt{2}-2)+\log {\displaystyle \frac{2+2\sqrt{2}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sqrt{2}-4+\log (1+\sqrt{2})\mathrm{.}}\end{array}$$(2) 2段昇る歩数を $k$ とする。このとき1段昇る歩数は $15-2k$ である。$15-2k$ 個の1段歩行を先に並べると、その間と両端には全部で $16-2k$ 個の空所がある。2段歩行が連続しないためには、このうち異なる $k$ 個の空所に2段歩行を1つずつ置けばよい。

この配置が可能なのは $0\leqq k\leqq 5$ のときであり、固定した $k$ に対する個数は ${}_{16-2k}{\mathrm{C}}_k$ である。したがって求める総数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {}_{16}{\mathrm{C}}_0+{}_{14}{\mathrm{C}}_1+{}_{12}{\mathrm{C}}_2+{}_{10}{\mathrm{C}}_3+{}_8{\mathrm{C}}_4+{}_6{\mathrm{C}}_5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+14+66+120+70+6=277}\end{array}$$通りである。

(1) は分子を2項に分け、微分して確かめられる原始関数を用いる。(2)は$r$段の昇り方を$u_r$通りとし、最初の歩幅で分類する。最初が2段なら次は必ず1段なので、3段分をまとめて除ける。

(1) $$\int {\displaystyle \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}}dx=2\sqrt{x^2+4},\int {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}}=\log (x+\sqrt{x^2+4})$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}}dx}& {\displaystyle ={[2\sqrt{x^2+4}+\log (x+\sqrt{x^2+4})]}_0^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sqrt{2}-4+\log (1+\sqrt{2})\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

$r$段の階段を条件どおりに昇る方法を$u_r$通りとする。直接数えて$$u_1=1,u_2=2,u_3=3.$$$r\geqq 4$で最初の1歩を分類する。最初が1段なら残りは$u_{r-1}$通りである。最初が2段なら次の1歩は必ず1段であり、その後は$u_{r-3}$通りである。よって$$u_r=u_{r-1}+u_{r-3}\mathrm{.}$$順に計算すると$$\begin{array}{crrrrrrrrrrrr}r& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15\\ u_r& 4& 6& 9& 13& 19& 28& 41& 60& 88& 129& 189& 277\end{array}$$となる。したがって答えは$$277\text{通り}$$である。