京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系（甲）数学 第5問

平面 $H$ は $xy$ 平面上の直線 $y=1$，すなわち $y=1,z=0$ を含む。したがって $H$ は $z=m(y-1)$ の形で表せる。

この平面と $xy$ 平面のなす角は ${45}^{\circ }$ である。$y,z$ 平面で見ると，直線 $z=m(y-1)$ と $z=0$ のなす角が ${45}^{\circ }$ であり，さらに点 $(0,2,1)$ を通るので $1=m(2-1)$ から $m=1$ である。よって $H:z=y-1$ である。

点 $(0,2,0)$ は $0<2-1$ を満たすので，求める側は $z\leqq y-1$ である。円柱 $C$ では $0\leqq z\leqq 1$ でもあるから，この側に含まれる高さは，$y-1$ が正になる $1\leqq y\leqq 2$ において $0\leqq z\leqq y-1$ である。$y=2$ でも高さは $1$ で，円柱の上面を超えない。

底面円 $x^2+y^2\leqq 4$ において，固定した $y$ に対する $x$ の幅は $$-\sqrt{4-y^2}\leqq x\leqq \sqrt{4-y^2}$$ より $2\sqrt{4-y^2}$ である。したがって求める体積 $V$ は $$V={\int }_1^{2}2\sqrt{4-y^2}(y-1)dy$$ である。

これを計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_1^{2}2y\sqrt{4-y^2}dy-{\int }_1^{2}2\sqrt{4-y^2}dy\mathrm{.}}\end{array}$$第1項は$${\int }_1^{2}2y\sqrt{4-y^2}dy={[-{\displaystyle \frac{2}{3}}(4-y^2{)}^{3\mathrm{/}2}]}_1^2=2\sqrt{3}$$である。

第2項$${\int }_1^{2}2\sqrt{4-y^2}dy$$は、円 $x^2+y^2\leqq 4$ のうち直線 $y=1$ より上にある弓形の面積である。弦の両端と原点を結ぶと、中心角は $2\pi \mathrm{/}3$ である。したがって弓形の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2^2\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (2\sqrt{3})\cdot 1={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-\sqrt{3}$$である。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\sqrt{3}-({\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-\sqrt{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$

第2項は、半径2・中心角 $2\pi \mathrm{/}3$ の扇形から三角形を引いた弓形の面積。