京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$f(x)=a{x}^2+bx+c$ とすると $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+b$ である。まず左辺を計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1-x^2)\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^2}& {\displaystyle =(1-x^2)(2ax+b{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-x^2)(4a^2{x}^2+4abx+b^2)\mathrm{.}}\end{array}$$ $[-1,1]$ で奇関数の積分は $0$ になるので，$4abx(1-x^2)$ の積分は消える。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1(1-x^2)\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^{2}dx}& {\displaystyle =4a^2{\int }_{-1}^1(x^2-x^4)dx+b^2{\int }_{-1}^1(1-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4a^2({\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{5}})+b^2(2-{\displaystyle \frac{2}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{15}}{a}^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}{b}^2\mathrm{.}}\end{array}$$次に右辺を計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \{f(x){\}}^2}& {\displaystyle =(a{x}^2+bx+c{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2{x}^4+b^2{x}^2+c^2+2ab{x}^3+2ac{x}^2+2bcx\mathrm{.}}\end{array}$$ここでも奇関数の項の積分は消えるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 6{\int }_{-1}^1\{f(x){\}}^{2}dx}& {\displaystyle =6(a^2\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}+b^2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+c^2\cdot 2+2ac\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{12}{5}}{a}^2+4b^2+12c^2+8ac\mathrm{.}}\end{array}$$よって右辺から左辺を引くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 6{\int }_{-1}^1\{f(x){\}}^{2}dx-{\int }_{-1}^1(1-x^2)\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{12}{5}}-{\displaystyle \frac{16}{15}})a^2+(4-{\displaystyle \frac{4}{3}})b^2+8ac+12c^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^2+{\displaystyle \frac{8}{3}}{b}^2+8ac+12c^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}\{(a+3c{)}^2+2b^2\}\mathrm{.}}\end{array}$$これは常に $0$ 以上である。したがって ${\int }_{-1}^1(1-x^2)\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^{2}dx\leqq 6{\int }_{-1}^1\{f(x){\}}^{2}dx$ が成り立つ。なお等号は $a+3c=0$ かつ $b=0$ のときに起こる。

$f(x)=g(x)+h(x)$，$g(x)=a{x}^2+c$，$h(x)=bx$ と偶関数部分・奇関数部分に分ける。対称区間では偶関数と奇関数の積の積分が0になるので、示すべき差も $g$ の寄与と $h$ の寄与に分離する。それぞれを計算すると平方と正の項になる。

$g(x)=a{x}^2+c$，$h(x)=bx$ とおくと、$g$ は偶関数、$h$ は奇関数であり、$$f=g+h,f^{\mathrm{\prime }}=g^{\mathrm{\prime }}+h^{\mathrm{\prime }}$$である。$g^{\mathrm{\prime }}$ は奇関数、$h^{\mathrm{\prime }}$ は偶関数だから、対称区間 $[-1,1]$ では交差項の積分が消える。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 6{\int }_{-1}^1\{f(x){\}}^{2}dx-{\int }_{-1}^1(1-x^2)\{f^{\mathrm{\prime }}(x){\}}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =[6{\int }_{-1}^{1}g(x{)}^{2}dx-{\int }_{-1}^1(1-x^2)g^{\mathrm{\prime }}(x{)}^{2}dx]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +[6{\int }_{-1}^{1}h(x{)}^{2}dx-{\int }_{-1}^1(1-x^2)h^{\mathrm{\prime }}(x{)}^{2}dx]\mathrm{.}}\end{array}$$まず $g(x)=a{x}^2+c$，$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax$ なので$$\begin{array}{r}{\displaystyle 6{\int }_{-1}^{1}g(x{)}^{2}dx-{\int }_{-1}^1(1-x^2)g^{\mathrm{\prime }}(x{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{4}{3}}(a+3c{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$また $h(x)=bx$，$h^{\mathrm{\prime }}(x)=b$ なので$$6{\int }_{-1}^{1}h(x{)}^{2}dx-{\int }_{-1}^1(1-x^2)h^{\mathrm{\prime }}(x{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{8}{3}}{b}^2\mathrm{.}$$よって全体の差は$${\displaystyle \frac{4}{3}}\{(a+3c{)}^2+2b^2\}\geqq 0$$である。これが求める不等式である。等号は $a+3c=0$ かつ $b=0$ のときに限る。