京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

微分すると，積分の上端が $\theta$ であるから $$F^{\mathrm{\prime }}(\theta )=\theta \cos (\theta +\alpha )$$ である。$0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ なので $$0<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。区間 $0<\theta <\pi \mathrm{/}2-\alpha$ では $0<\theta +\alpha <\pi \mathrm{/}2$ より $\cos (\theta +\alpha )>0$ だから $F^{\mathrm{\prime }}(\theta )>0$ である。一方，$$\pi \mathrm{/}2-\alpha <\theta \leqq \pi \mathrm{/}2$$ では $\pi \mathrm{/}2<\theta +\alpha <\pi$ となるので $\cos (\theta +\alpha )<0$ であり，$F^{\mathrm{\prime }}(\theta )<0$ である。

したがって $F$ は $$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha$$ で増加し，$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha \leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ で減少する。よって最大は $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha$$ でとる。

次に値を求める。部分積分により $$\int x\cos (x+\alpha )dx=x\sin (x+\alpha )+\cos (x+\alpha )$$ である。したがって$$F(\theta )={[x\sin (x+\alpha )+\cos (x+\alpha )]}_0^{\theta }=\theta \sin (\theta +\alpha )+\cos (\theta +\alpha )-\cos \alpha$$である。ここに $\theta =\pi \mathrm{/}2-\alpha$ を代入すると$$\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1,\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0$$より $$F({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha -\cos \alpha$$ である。よって最大値は ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha -\cos \alpha$ である。なお，$u=\pi \mathrm{/}2-\alpha$ とおけばこの値は $u-\sin u$ であり，$0<u<\pi \mathrm{/}2$ では正であることも増減と一致している。