京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第2問

$$A={\int }_0^{1}f(y)dy,B={\int }_0^{1}yf(y)dy,D={\int }_0^1{y}^{2}f(y)dy$$とおく。すると $${\int }_0^1(x+y{)}^{2}f(y)dy=x^{2}A+2xB+D$$ であるから，与えられた等式は $${\int }_0^{x}f(y)dy+x^{2}A+2xB+D=x^2+C$$ と書ける。

両辺を$x$で微分すると $f(x)+2xA+2B=2x$ である。したがって $f(x)=2(1-A)x-2B$ となり，$f(x)$は1次式である。

そこで $f(x)=px+q$ とおく。このとき$$A={\int }_0^1(py+q)dy={\displaystyle \frac{p}{2}}+q,B={\int }_0^{1}y(py+q)dy={\displaystyle \frac{p}{3}}+{\displaystyle \frac{q}{2}}$$である。また微分後の式 $f(x)+2xA+2B=2x$ に$f(x)=px+q$を代入して係数を比較すると $p+2A=2,q+2B=0$ である。すなわち$$p+2({\displaystyle \frac{p}{2}}+q)=2,q+2({\displaystyle \frac{p}{3}}+{\displaystyle \frac{q}{2}})=0$$である。整理すると $$p+q=1,q=-{\displaystyle \frac{p}{3}}$$ となる。よって $$p-{\displaystyle \frac{p}{3}}=1,p={\displaystyle \frac{3}{2}},q=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。したがって $$f(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

次に$C$を求める。元の式に$x=0$を代入すると $0+{\int }_0^1{y}^{2}f(y)dy=C$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C}& {\displaystyle ={\int }_0^1{y}^2({\displaystyle \frac{3}{2}}y-{\displaystyle \frac{1}{2}})dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{3}{8}}{y}^4-{\displaystyle \frac{1}{6}}{y}^3]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{24}}}\end{array}$$である。