京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$A$ を原点とし、$$\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d}$$とおく。このとき$$B=\vec{b},D=\vec{d},C=\vec{b}+\vec{d}\mathrm{.}$$内分比から$$\begin{array}{cccc}& E=\frac{1}{2}\vec{b},F=\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d},G=\frac{1}{4}\vec{b}+\vec{d}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$特に $CG:GD=3:1$ なので、$G$ の $\vec{b}$ の係数は $1\mathrm{/}4$ である。

$P$ を $CE$ 上の点として$$P=C+s(E-C)$$と表すと$$\begin{array}{cccc}& P=(1-\frac{s}{2})\vec{b}+(1-s)\vec{d}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$また $P$ を $FG$ 上の点として$$P=F+t(G-F)$$と表すと$$\begin{array}{cccc}& P=(1-\frac{3t}{4})\vec{b}(\frac{2}{3}+\frac{t}{3})\vec{d}\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$(2)、(3)で $\vec{b},\vec{d}$ の係数を比較すれば$$2s=3t,3s+t=1.$$したがって$$s=\frac{3}{11},t=\frac{2}{11},$$ゆえに$$\begin{array}{cccc}& P=\frac{19}{22}\vec{b}+\frac{8}{11}\vec{d}\mathrm{.}& & \text{(4)}\end{array}$$直線 $AP$ 上の点は $uP$ と表せる。これが辺 $BC$ 上にあるためには、$\vec{b}$ の係数が1でなければならない。(4)より$$u\cdot \frac{19}{22}=1,$$したがって$$u=\frac{22}{19}\mathrm{.}$$よって$$AQ=\frac{22}{19}AP,PQ=AQ-AP=\frac{3}{19}AP\mathrm{.}$$以上から$$AP:PQ=19:3$$である。

$P$ は青線 $CE$ と橙線 $FG$ の交点であり、紫線 $AP$ の延長が $BC$ と交わる点が $Q$ である。