京都大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

正四面体の一辺の長さは1である。座標を$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$$とおく。すると、底面 $ABC$ の重心の真上に $D$ があり $$D=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\sqrt{\frac{2}{3}})$$ と置ける。また $P$ は $AB$ の中点なので $$P=(\frac{1}{2},0,0)$$ である。

点 $Q$ は辺 $AC$ 上を動くので $$Q=tC=(\frac{t}{2},\frac{\sqrt{3}t}{2},0)(0\leqq t\leqq 1)$$ とおく。

このとき$$\overrightarrow{DP}=P-D=(0,-\frac{\sqrt{3}}{6},-\sqrt{\frac{2}{3}})$$であり、$$\overrightarrow{DQ}=Q-D=(\frac{t-1}{2},\frac{\sqrt{3}(3t-1)}{6},-\sqrt{\frac{2}{3}})$$である。内積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{DP}\cdot \overrightarrow{DQ}}& {\displaystyle =0\cdot \frac{t-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{\sqrt{3}(3t-1)}{6}+\frac{2}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{3t-1}{12}+\frac{2}{3}=\frac{9-3t}{12}=\frac{3-t}{4}}\end{array}$$である。また $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{DP}\mathrm{\mid }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{DQ}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\frac{(t-1{)}^2}{4}+\frac{(3t-1{)}^2}{12}+\frac{2}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t^2-t+1}\end{array}$$である。したがって$$\cos \mathrm{\angle }PDQ=\frac{\overrightarrow{DP}\cdot \overrightarrow{DQ}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{DP}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{DQ}\mathrm{\mid }}=\frac{\sqrt{3}(3-t)}{6\sqrt{t^2-t+1}}$$である。

係数 $\sqrt{3}\mathrm{/}6$ は正なので $$F(t)=\frac{3-t}{\sqrt{t^2-t+1}}$$ の最大を調べればよい。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{t^2-t+1}}-\frac{(3-t)(2t-1)}{2(t^2-t+1{)}^{3\mathrm{/}2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-5t}{2(t^2-t+1{)}^{3\mathrm{/}2}}}\end{array}$$である。よって $F(t)$ は $0\leqq t<\frac{1}{5}$ で増加し、$\frac{1}{5}<t\leqq 1$ で減少する。したがって最大は $t=\frac{1}{5}$ のときに起こる。

このとき $$3-t=\frac{14}{5},t^2-t+1=\frac{1}{25}-\frac{1}{5}+1=\frac{21}{25}$$ であるから$$\max \cos \mathrm{\angle }PDQ=\frac{\sqrt{3}\cdot \frac{14}{5}}{6\cdot \frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{7\sqrt{3}}{3\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{7}}{3}$$である。したがって求める最大値は $\frac{\sqrt{7}}{3}$ である。

点 $D$ を始点とする3本の辺ベクトルを使う。正四面体の辺長と面角ではなく、各ベクトルの長さが1、相互の内積が $1\mathrm{/}2$ であることだけで $DP,DQ$ を表す。座標を置かずに同じ一変数関数へ帰着し、微分で最大化する。

座標を置かず、点 $D$ から見たベクトルだけで計算してもよい。 $$\overrightarrow{DA}=\mathbf{a},\overrightarrow{DB}=\mathbf{b},\overrightarrow{DC}=\mathbf{c}$$ とおく。正四面体の各面は正三角形であるから$$\mathrm{\mid }\mathbf{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathbf{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathbf{c}\mathrm{\mid }=1,\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=\frac{1}{2}$$である。

$P$ は $AB$ の中点なので $$\overrightarrow{DP}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}$$ である。また、$AQ:QC=t:(1-t)$、すなわち $0\leqq t\leqq 1$ とおくと $$\overrightarrow{DQ}=(1-t)\mathbf{a}+t\mathbf{c}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{DP}\cdot \overrightarrow{DQ}}& {\displaystyle =\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \{(1-t)\mathbf{a}+t\mathbf{c}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{(1-t)+\frac{t}{2}+\frac{1-t}{2}+\frac{t}{2}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3-t}{4}}\end{array}$$である。また $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{DP}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1}{4}\{1+1+2\cdot \frac{1}{2}\}=\frac{3}{4}$$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{DQ}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(1-t{)}^2+t^2+2t(1-t)\cdot \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t^2-t+1}\end{array}$$である。したがって$$\cos \mathrm{\angle }PDQ=\frac{3-t}{2\sqrt{3}\sqrt{t^2-t+1}}$$である。$G(t)=(3-t)(t^2-t+1{)}^{-1\mathrm{/}2}$ とおくと$$G^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{1-5t}{2(t^2-t+1{)}^{3\mathrm{/}2}}$$だから、$0\leqq t\leqq 1$ では $t=1\mathrm{/}5$ のとき最大となる。このとき$$\max \cos \mathrm{\angle }PDQ=\frac{\sqrt{7}}{3}$$である。