京都大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

正四面体の1辺の長さを1としてよい。点 $P,Q,R$ は頂点ではないので $$OP=x,OQ=y,OR=z$$ とおくと $0<x,y,z<1$ である。

正四面体では $$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }BOC=\mathrm{\angle }COA={60}^{\circ }$$ である。したがって余弦定理より $$P{Q}^2=x^2+y^2-2xy\cos {60}^{\circ }=x^2+y^2-xy$$ であり、同様に $$Q{R}^2=y^2+z^2-yz,R{P}^2=z^2+x^2-zx$$ である。 $\mathrm{△}PRQ$ は正三角形なので $P{Q}^2=Q{R}^2=R{P}^2$ である。$x,y,z$ のうち最大のものを、文字の名前を入れ替えて $x$ としてよい。すなわち $$x\geqq y,x\geqq z$$ として考える。

まず $P{Q}^2=Q{R}^2$ より $x^2+y^2-xy=y^2+z^2-yz$ である。整理すると $x^2-xy-z^2+yz=0$ すなわち $(x-z)(x+z-y)=0$ である。ここで $x\geqq y$ かつ $z>0$ だから $x+z-y>0$ である。よって $x=z$ を得る。

次に $Q{R}^2=R{P}^2$ より $y^2+z^2-yz=z^2+x^2-zx$ であり、整理して $y^2-yz-x^2+zx=0$ すなわち $(y-x)(x+y-z)=0$ である。いま $z=x$ なので $x+y-z=y>0$ である。したがって $y=x$ を得る。以上より $x=y=z$ である。

同じ内分比になった後の位置関係は次のようになる。

したがって $P,Q,R$ はそれぞれ $OA,OB,OC$ を同じ比で内分する点である。このとき三角形 $OPQ$ と $OAB$ は相似であり、$PQ\parallel AB$ である。同様に $QR\parallel BC,RP\parallel CA$ である。よって3辺 $PQ,QR,RP$ はそれぞれ $AB,BC,CA$ に平行である。