京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

条件(ii)は、$a_n$ を2で割った商が $a_{n+1}$ であることを表す。したがって2進表示では、各段階で右端の1桁を消す。

初項は$$\begin{array}{cccc}& a_1=2^N-3=1+\sum _{j=2}^{N-1}{2}^j\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$N=2$ のとき、右辺の和は空和である。(1)より、2進表示では $2^0$ の位と $2^2,\dots ,2^{N-1}$ の位が1であり、$2^1$ の位だけが0である。

最初に $2^j$ の位にある1は、右へ1桁ずつ移り、消えるまでに全項の和へ$$\begin{array}{cccc}& 2^j+2^{j-1}+\cdots +2+1=2^{j+1}-1& & \text{(2)}\end{array}$$だけ寄与する。したがって、数列が0になるまでの総和は$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle (2^1-1)+\sum _{j=2}^{N-1}(2^{j+1}-1)}& {\displaystyle =1+(2^3+2^4+\cdots +2^N)-(N-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+(2^{N+1}-8)-(N-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{N+1}-N-5.}\end{array}& & \text{(3)}\end{array}$$すべての $a_n$ は0以上であり、十分先では0になる。よって、どの自然数 $M$ に対しても、$M$ までの部分和は(3)の総和を超えない。したがって$$\sum _{n=1}^M{a}_n\leqq 2^{N+1}-N-5$$が成り立つ。

最初の2項を計算した後、$a_n=2^{N-n+1}-1$ という形が続くことを漸化式から確認する。この形の項は奇数なので、次の項は $(a_n-1)\mathrm{/}2$ となって同じ形が保たれる。0になるまでの全項を等比数列の和として足し、非負項の部分和をその総和で上から押さえる。

まず$$a_1=2^N-3$$は奇数なので$$a_2=\frac{a_1-1}{2}=2^{N-1}-2.$$$N=2$ なら $a_2=0$ であり、$$\sum _{n=1}^M{a}_n\leqq a_1=1=2^3-2-5$$となる。以下 $N\geqq 3$ とする。

$a_2$ は偶数だから$$a_3=\frac{a_2}{2}=2^{N-2}-1.$$さらに$$\begin{array}{cccc}& a_n=2^{N-n+1}-1(3\leqq n\leqq N)& & \text{(1)}\end{array}$$が成り立つとき、$n<N$ なら $a_n$ は奇数なので$$a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}=2^{N-n}-1.$$よって(1)は帰納的に成り立つ。特に$$a_N=1,a_{N+1}=0$$であり、それ以後も0である。

したがって全項の和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}& {\displaystyle =(2^N-3)+(2^{N-1}-2)+\sum _{n=3}^N(2^{N-n+1}-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^N-3)+(2^{N-1}-2)+(2^{N-2}+2^{N-3}+\cdots +2)-(N-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{N+1}-N-5.}\end{array}$$各項は非負なので、任意の自然数 $M$ に対して$$\sum _{n=1}^M{a}_n\leqq \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=2^{N+1}-N-5$$である。