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京都大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

四面体OABCにおいて，点Oから3点A，B，Cを含む平面に下ろした垂線と
その平面の交点をHとする．
OA→⊥BC→，
OB→⊥OC→，
∣OA→∣=2，
∣OB→∣=∣OC→∣=3，
∣AB→∣=7のとき，
∣OH→∣を求めよ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安25分

ベクトル　内積の利用、ベクトル成分計算、計算整理

方針

条件を内積へ直して a⃗⋅b⃗,a⃗⋅c⃗,b⃗⋅c⃗ を決める。底面 ABC の面積を Gram 行列から、四面体の体積を3本のベクトルが作る平行六面体から求め、V=13[△ABC]⋅OH で高さを出す。

解答

OA⃗=a⃗,OB⃗=b⃗,OC⃗=c⃗ とおく。条件より ∣a⃗∣=2,∣b⃗∣=∣c⃗∣=3 である。また OA→⊥BC→ より a⃗⋅(c⃗−b⃗)=0 だから a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗ である。

さらに ∣AB→∣=7 より、∣b⃗−a⃗∣2=7 である。左辺を内積で展開すると ∣b⃗∣2+∣a⃗∣2−2a⃗⋅b⃗=7 すなわち 9+4−2a⃗⋅b⃗=7 であるから a⃗⋅b⃗=3 となる。したがって a⃗⋅c⃗=3 である。また OB→⊥OC→ より b⃗⋅c⃗=0 である。

底面 ABC の2辺はAB→=b⃗−a⃗,AC→=c⃗−a⃗である。よって ∣AB→∣2=7 であり、同様に∣AC→∣2=∣c⃗∣2+∣a⃗∣2−2a⃗⋅c⃗=9+4−6=7である。またAB→⋅AC→=(b⃗−a⃗)⋅(c⃗−a⃗)=b⃗⋅c⃗−b⃗⋅a⃗−a⃗⋅c⃗+∣a⃗∣2より AB→⋅AC→=0−3−3+4=−2 である。したがって[△ABC]2=14{∣AB→∣2∣AC→∣2−(AB→⋅AC→)2}=14(7⋅7−(−2)2)=454である。

次に、a⃗,b⃗,c⃗ がつくる平行六面体の体積の2乗を求める。内積表はa⃗b⃗c⃗a⃗433b⃗390c⃗309であるから、平行六面体の体積の2乗は∣433390309∣=4⋅81−3⋅27+3⋅(−27)=162である。四面体 OABC の体積を V とすると、四面体はこの平行六面体の 1/6 であるから V2=16236=92 である。

一方、ABC を底面と見れば V=13[△ABC]⋅OH である。よってOH2=9V2[△ABC]2=9⋅92454=185となる。したがって ∣OH→∣=3105 である。

別解

解法2

方針

O を原点、OA→ を x 軸上に置く。
∣OB∣,∣AB∣ から B を決め、直交条件と ∣OC∣ から C を決める。
最後に平面 ABC の法線ベクトルを求め、原点と平面の距離の公式を適用する。

解答

座標を置いて平面 ABC と原点の距離を直接求めてもよい。O=(0,0,0)、A=(2,0,0) とする。B=(u,v,0) とおくと、∣OB∣=3,∣AB∣=7 から u2+v2=9,(u−2)2+v2=7 であり、差をとって u=3/2、したがって v=33/2 とできる。次に C=(s,t,w) とおく。OA→⊥BC→ より s=3/2、また OB→⊥OC→ より 32⋅32+332t=0 なので t=−32 である。さらに ∣OC∣=3 から w2=9−(32)2−(−32)2=6 であり、w=6 としてよい。

このときAB→=(−12,332,0),AC→=(−12,−32,6)である。平面 ABC の法線ベクトルとして (922,62,3) を取れる。この法線ベクトルを n⃗ とすると、n⃗⋅A=92、∣n⃗∣2=45 である。したがって原点から平面 ABC までの距離は∣n⃗⋅A∣∣n⃗∣=9235=3105であり、同じ答えを得る。

総評

空間ベクトルの標準的な難問で、内積条件をすべて数値化できるかが最初の山である。OA→⊥BC→ を a⃗⋅(c⃗−b⃗)=0 と読むこと、∣AB∣ から a⃗⋅b⃗ を求めることが得点の起点になる。体積経由の解法では底面積と四面体体積を混同しやすく、最後に V=13[ABC]⋅OH の係数を確認する必要がある。座標別解は計算量は増えるが、距離公式で最後まで見通せる。目安時間は25分程度。

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出典: 京都大学 2011年度 前期日程 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。