問題
整数 に対し，
が素数となるような をすべて求めよ。
出典：京都大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第3問・理系第2問
方針
解法1
整数 について が成り立つことを使い， が常に3で割り切れることを示す。素数は正の約数を1と自分自身しかもたない正の整数なので，3で割り切れる素数なら値は3に限られる。あとは を因数分解して整数解を求め，実際に値が3になることを確認する。
解法2
式を と変形する。3つの因子 は3で割った余りが互いに異なるので，その積は必ず3の倍数である。したがって元の式も3の倍数であり，素数になるには3に等しいことが必要である。
解答
解法1
任意の整数 について である。したがって であり， は常に3で割り切れる。
この値が素数であるとする。素数は正の整数であり，しかも3で割り切れるので，その値は でなければならない。よって を解けばよい。これは すなわち である。したがって を得る。
実際，これらの値では となるので素数である。以上より，求める整数は である。
解法2
恒等式
を用いる。
3整数 を3で割った余りは，順序を除けば である。したがって
であり， も3の倍数である。
この値が素数なら，正の素数で3の倍数であるから
でなければならない。よって
となり，
を得る。いずれを代入しても元の式の値は3であるため，これらはすべて条件を満たす。