京都大学 2018年度
文理共通数学 文系第4問・理系第6問

解答

解法1

(1)

点 $P$ を原点とする。$P$ は $AB$ の中点なので，あるベクトル $\vec{a}$ を用いて $A=\vec{a},B=-\vec{a}$ と表せる。また $Q$ の位置ベクトルを $\vec{q}$ とし，$Q$ が $CD$ の中点であることから，あるベクトル $\vec{c}$ を用いて $C=\vec{q}+\vec{c},D=\vec{q}-\vec{c}$ と表す。

条件 $AC=BD$ より $|\vec{q}+\vec{c}-\vec{a}{|}^2=|\vec{q}-\vec{c}+\vec{a}{|}^2$ である。右辺は $|\vec{q}-(\vec{c}-\vec{a}){|}^2$ であるから，差を取ると $4\vec{q}\cdot (\vec{c}-\vec{a})=0$ すなわち $\vec{q}\cdot (\vec{c}-\vec{a})=0$ である。

同様に $AD=BC$ より $|\vec{q}-\vec{c}-\vec{a}{|}^2=|\vec{q}+\vec{c}+\vec{a}{|}^2$ であり，これは $\vec{q}\cdot (\vec{c}+\vec{a})=0$ を与える。2つの式を引くと $\vec{q}\cdot \vec{a}=0$ である。

ここで $\overrightarrow{PQ}=\vec{q},\overrightarrow{AB}=B-A=-2\vec{a}$ である。したがって $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ となり，辺 $AB$ と線分 $PQ$ は垂直である。

(2)

上で得た2つの式 $\vec{q}\cdot (\vec{c}-\vec{a})=0,\vec{q}\cdot (\vec{c}+\vec{a})=0$ を足すと $\vec{q}\cdot \vec{c}=0$ である。よって $PQ$ は $AB$ だけでなく $CD$ にも垂直である。

直線 $PQ$ を軸として空間を180度回転させることを考える。この回転では $\vec{q}$ の方向はそのまま保たれ，$\vec{q}$ に垂直な成分は符号が反対になる。いま $\vec{a}$ も $\vec{c}$ も $\vec{q}$ に垂直であるから，この回転によって

となる。すなわち $A\leftrightarrow B,C\leftrightarrow D$ である。

平面 $\alpha$ は軸 $PQ$ を含むので，この180度回転で平面 $\alpha$ は自分自身に移る。また，この回転は平面 $\alpha$ の両側を入れ替える。したがって，平面 $\alpha$ によって分けられた四面体の2つの部分は，この回転により互いに移り合う。回転は体積を保つので，2つの部分の体積は等しい。

解法2

(1)

$P$ を原点とし，

と表す。

$AC=BD$ の両辺を2乗して差を取ると

同様に $AD=BC$ から

を得る。2式の差と和を取れば

$\overrightarrow{PQ}=\mathbf{q}$，$\overrightarrow{AB}=-2\mathbf{a}$ だから

したがって $AB\perp PQ$ である。

(2)

$PQ$ を $z$ 軸とし，$PQ$ を含む平面 $\alpha$ を $xz$ 平面とするように直交座標を取る。$P=(0,0,0)$，$Q=(0,0,h)$ と書く。

上で $\mathbf{a},\mathbf{c}$ はともに $\mathbf{q}$ と垂直であることを示した。よって適当な実数 $u,v,r,s$ により

と表せる。

$z$ 軸まわりに180度回転する写像は

である。この回転により

となるから，四面体 $ABCD$ は自分自身に移る。一方，切断平面 $\alpha$ は $y=0$ であり回転後も不変だが，$y>0$ の側と $y<0$ の側は交換される。

したがって，平面 $\alpha$ で切られた2つの部分はこの回転で互いに移り合う。回転は体積を保つので，2つの部分の体積は等しい。