京都大学 2019年度文理共通数学文系第4問・理系第4問解答・解説

問題

1つのさいころを $n$ 回続けて投げ，出た目を順に $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ とする。このとき次の条件をみたす確率を $n$ を用いて表せ。ただし $X_{0} = 0$ としておく。

条件： $1 ≦ k ≦ n$ をみたす $k$ のうち， $X_{k - 1} ≦ 4$ かつ $X_{k} ≧ 5$ が成立するような $k$ の値はただ1つである。

出典：京都大学 2019年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第4問・理系第4問

出目を $L = {1, 2, 3, 4}$ と $H = {5, 6}$ に分ける。条件を満たす列では $H$ がただ1つの連続ブロックになるので、その長さと開始位置で数える。

途中の状態を「移行0回で現在L」「移行1回で現在H」「移行1回で現在L」の3つに分け、1回投げるごとの漸化式を立てる。各状態確率を帰納的に解いて合計する。

L = {1, 2, 3, 4}, H = {5, 6}

とおく。 $X_{0} = 0$ は $L$ とみなせる。条件は、状態列で $L$ から $H$ への移行がちょうど1回起こることである。

このとき $H$ は1つの連続ブロックとして現れる。長さを $h$ とすれば、その開始位置は $n - h + 1$ 通りであり、各状態列の確率は

(\frac{1}{3})^{h} (\frac{2}{3})^{n - h}

である。したがって求める確率 $p_{n}$ は

p_{n} = h = 1 \sum n (n - h + 1) (\frac{1}{3})^{h} (\frac{2}{3})^{n - h}

となる。

ここで

S_{n} = h = 1 \sum n (n - h + 1) (\frac{1}{2})^{h}

とおくと

S_{n} = \frac{n}{2} + \frac{n - 1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}}

である。 $2 S_{n} - S_{n}$ を取れば

S_{n} = n - 1 + \frac{1}{2 ^{n}}

を得る。よって

p_{n} = (\frac{2}{3})^{n} S_{n} = (n - 1) (\frac{2}{3})^{n} + (\frac{1}{3})^{n}

である。

q = \frac{2}{3}, r = \frac{1}{3}

とおく。 $n$ 回投げた後について、次の確率を定める。

A_{n} B_{n} C_{n} L \to H が 0 回で、現在 L L \to H が 1 回で、現在 H L \to H が 1 回で、現在 L

初期値は $A_{0} = 1, B_{0} = C_{0} = 0$ である。

したがって

A_{n + 1} B_{n + 1} C_{n + 1} = q A_{n}, = r (A_{n} + B_{n}), = q (B_{n} + C_{n})

である。まず $A_{n} = q^{n}$ である。さらに帰納法により、 $n ≧ 1$ で

B_{n} = q^{n} - r^{n}, C_{n} = (n - 2) q^{n} + 2 r^{n}

が成り立つ。実際、初項 $n = 1$ で成立し、上の漸化式へ代入すれば次の項でも成立する。

求める確率は $B_{n} + C_{n}$ だから

p_{n} = B_{n} + C_{n} = (n - 1) q^{n} + r^{n} = (n - 1) (\frac{2}{3})^{n} + (\frac{1}{3})^{n}

となる。