京都大学 2019年度文理共通数学文系第5問・理系第5問解答・解説

問題

半径1の球面上の5点 $A$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， $B_{4}$ は，正方形 $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ を底面とする四角錐をなしている。この5点が球面上を動くとき，四角錐 $A B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ の体積の最大値を求めよ。

出典：京都大学 2019年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第5問・理系第5問

方針

解法1

球の中心と底面平面との距離を $u$ とする。断面円の半径から正方形の面積を求め、頂点は平面から最も遠い反対側の球面上に取る。体積を $u$ の関数にして微分する。

解法2

同じ1変数表示を得た後、微分せずに最大値との差を因数分解する。平方因子が現れるため、最大値と等号条件を同時に確定できる。

解答

解法1

球の中心を $O$ 、底面を含む平面と $O$ との距離を $u$ とする。

0 ≦ u ≦ 1

である。底面平面と球面との交わりは、半径

r = 1 - u^{2}

の円である。正方形の対角線はこの円の直径 $2 r$ なので、底面積は

\frac{( 2 r ) ^{2}}{2} = 2 (1 - u^{2})

となる。

底面平面を固定すると、頂点 $A$ を反対側の最遠点に取ったとき高さが最大で、その高さは $1 + u$ である。

したがって体積 $V$ は

V (u) = \frac{1}{3} \cdot 2 (1 - u^{2}) (1 + u) = \frac{2}{3} (1 - u) (1 + u)^{2}

である。微分すると

V^{'} (u) = \frac{2}{3} (1 + u) (1 - 3 u)

だから、 $V$ は $0 ≦ u ≦ 1/3$ で増加し、 $1/3 ≦ u ≦ 1$ で減少する。よって $u = 1/3$ で最大となり、

V_{m a x} = \frac{2}{3} (1 - \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{3})^{2} = \frac{64}{81}

である。

解法2

解法1と同様に、球の中心から底面平面までの距離を $u$ とすれば

V (u) = \frac{2}{3} (1 - u) (1 + u)^{2}, 0 ≦ u ≦ 1

である。ここで

\frac{64}{81} - V (u) = \frac{64}{81} - \frac{2}{3} (1 - u) (1 + u)^{2} = \frac{2}{81} (3 u - 1)^{2} (3 u + 5)

と因数分解できる。

$0 ≦ u ≦ 1$ では右辺は0以上なので

V (u) ≦ \frac{64}{81}

である。等号は $3 u - 1 = 0$ 、すなわち $u = 1/3$ のときに成立する。よって体積の最大値は

\frac{64}{81}

である。

京都大学 2019年度文理共通数学 文系第5問・理系第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

京都大学 2019年度
文理共通数学文系第5問・理系第5問