京都大学 2020年度文理共通数学文系第4問・理系第3問解答・解説

問題

$k$ を正の実数とする．座標空間において，原点 $O$ を中心とする半径1の球面上の4点 $A, B, C, D$ が次の関係式を満たしている．

O A \cdot O B = O C \cdot O D = \frac{1}{2},

O A \cdot O C = O B \cdot O C = - \frac{6}{4},

O A \cdot O D = O B \cdot O D = k

このとき， $k$ の値を求めよ．ただし，座標空間の点 $X, Y$ に対して， $O X \cdot O Y$ は， $O X$ と $O Y$ の内積を表す．

出典：京都大学 2020年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第4問・理系第3問

$a + b$ と $a - b$ を使う。条件から $c, d$ はともに $a - b$ に垂直なので、残る2方向の成分だけで内積を計算する。

$A, B$ を $x$ 軸について対称に置く。内積条件を引き算すると $C, D$ の $y$ 成分が0となり、残りは $x z$ 平面内の2次元計算になる。

a = O A, b = O B, c = O C, d = O D

とおく。4本はすべて単位ベクトルである。また

∣ a + b ∣^{2} = 1 + 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3.

そこで

u = \frac{a + b}{3}

とおくと、 $u$ は単位ベクトルである。

条件から

c \cdot u = - \frac{1}{2}, d \cdot u = \frac{2 k}{3} .

さらに

c \cdot (a - b) = 0, d \cdot (a - b) = 0.

よって $u$ に垂直な共通方向の単位ベクトルを $v$ とすれば、向きを適切に選んで

c = - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v,

d = \frac{2 k}{3} u + ε 1 - \frac{4 k ^{2}}{3} v (ε = \pm 1)

と書ける。

$ε = - 1$ なら2方向の内積がどちらも負になり、 $c \cdot d = 1/2$ に反する。したがって $ε = 1$ で、

- \frac{2}{3} k + \frac{1}{2} 1 - \frac{4 k ^{2}}{3} = \frac{1}{2} .

平方根を移項して平方すると

16 k^{2} + 12 \frac{2}{3} k - 3 = 0.

$k > 0$ であるから

k = \frac{3 2 - 6}{8} .

座標軸を適切に選び、

a = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0), b = (\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}, 0)

とおく。どちらも単位ベクトルで、内積は $1/2$ である。

$c = (c_{1}, c_{2}, c_{3})$ とする。

a \cdot c = b \cdot c = - \frac{6}{4}

の2式を引くと $c_{2} = 0$ 、加えると

3 c_{1} = - \frac{6}{2} .

よって

c_{1} = - \frac{1}{2} .

座標軸の向きを選び直して

c = (- \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})

としてよい。

同様に $d = (d_{1}, d_{2}, d_{3})$ について

a \cdot d = b \cdot d = k

から

d_{2} = 0, d_{1} = \frac{2 k}{3} .

$∣ d ∣ = 1$ より

d_{3} = \pm 1 - \frac{4 k ^{2}}{3} .

$c \cdot d = 1/2 > 0$ と $k > 0$ を同時に満たすには $d_{3} > 0$ でなければならない。したがって

- \frac{2}{3} k + \frac{1}{2} 1 - \frac{4 k ^{2}}{3} = \frac{1}{2} .

これを解き、正の根を取ると

k = \frac{3 2 - 6}{8} .