問題
縦4個，横4個のマス目のそれぞれに1，2，3，4の数字を入れていく．このマス目の横の並びを行といい，縦の並びを列という．どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ．下図はこのような入れ方の1例である．
出典：京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第5問・理系第5問
方針
解法1（第1行・第1列を固定する方法）
数字名と行の入れ替えを使い、第1行と第1列をともに に固定した標準形を数える。標準形4通りに、固定を戻す と を掛ける。
解法2（第1行だけ固定して数える方法）
第1行だけを に固定する。第2行第1列の数字は3通りで対称であり、それを2に固定した場合の完成数8通りを数える。
解答
解法1（第1行・第1列を固定する方法）
数字の名前を入れ替えて第1行を
に固定する。さらに下3行を入れ替えて、第1列も
に固定する。
第2行は先頭が2で、各列の先頭の数字と重ならないため、候補は
の3通りである。これらを完成させると、標準形は次の4通りになる。
よって標準形は4通りである。
第1行の並べ方は 通りで、第1行を固定した後の第1列下3個の並べ方は 通りである。したがって
解法2（第1行だけ固定して数える方法）
まず第1行を
に固定する。
第2行第1列には のいずれかが入る。この3つは数字名の入れ替えで対称だから、第2行第1列を2とした場合だけを数え、最後に3倍する。
このとき第2行は
のいずれかである。
第2行が のとき、第3行は
の4通りで、その後の第4行は一意に決まる。
第2行が のときは第3行が2通り、第2行が のときも第3行が2通りであり、いずれも第4行は一意に決まる。よって第2行第1列を2とした完成数は
通りである。
第1行を固定した全体では
通り。第1行自体の並べ方 を戻すと
通りである。