問題
四面体が
を満たしているとする．を辺上の点とし，の重心をとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1) を示せ．
(2) が辺上を動くとき，の最小値を求めよ．
方針
解法1
を 軸に置いて座標化する。与えられた長さから はどちらも の平面上にあることが分かり、さらに を満たすように 座標を取る。 を 上のパラメータで表すと、 の 座標は常に2である。重心 から を計算し、 成分が0であることから垂直性を示す。最小値は を の二次式にして求める。
解法2
辺 の中点を とする。, から は の垂直二等分平面上にあり、 なら 。重心 は中線 を に分けるので 。あとは平面三角形 で から への距離を求める。
解答
解法1
(1)
なので、座標を とおく。
まず より、 とすると である。差をとると である。回転してよいので とおける。
同様に より、 の 座標も2である。 とおくと である。また より である。この2式の差をとると となるので である。したがって であり、向きを選んで とおく。 を辺 上の点とし、 と表す。このとき
であり、 の 座標は常に2である。 の重心は であるから である。 の 座標は4、 の 座標は2なので、 の 成分は である。 は 軸方向のベクトルだから、 は と垂直である。これで(1)が示された。
(2)
次に の最小値を求める。上の式より である。 成分は0なので
平方完成すると である。 は に含まれるので、最小値は である。したがって である。
解法2
(1)
を辺 の中点とする。 だから は の垂直二等分平面上にあり、同様に から も同じ平面上にある。したがって なら
三角形 において は中線であり、重心 はこの中線を
に分ける。よって は と平行なので
(2)
であり、直角三角形 から
したがって三角形 の3辺は
から に下ろした垂線の足を とする。余弦定理、または射影の公式より
よって
なので は辺 上にあり、 が のとき は最小値2をとる。
重心の性質より だから
