京都大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

まず上側を示す。$2022<2048=2^{11}$ であり、対数関数 ${\log }_{4}x$ は $x>0$ で増加するから $${\log }_{4}2022<{\log }_4{2}^{11}=\frac{11}{2}=5.5$$ である。

次に下側を示す。底の変換公式より$${\log }_{4}2022=\frac{{\log }_{10}2022}{{\log }_{10}4}=\frac{{\log }_{10}2022}{2{\log }_{10}2}$$である。${\log }_{10}2>0$ なので、${\log }_{4}2022>5.4$ を示すには $${\log }_{10}2022>10.8{\log }_{10}2$$ を示せばよい。

左辺について、$2022>2000=2\cdot {10}^3$ より $${\log }_{10}2022>{\log }_{10}2000=3+{\log }_{10}2$$ である。与えられた ${\log }_{10}2>0.301$ から $3+{\log }_{10}2>3.301$ である。

一方、右辺について、与えられた ${\log }_{10}2<0.3011$ から $$10.8{\log }_{10}2<10.8\cdot 0.3011=3.25188$$ である。したがって $${\log }_{10}2022>3.301>3.25188>10.8{\log }_{10}2$$ となる。よって ${\log }_{4}2022>5.4$ である。

以上より $5.4<{\log }_{4}2022<5.5$ が示された。

$2022=2\cdot 1011$ と分け、${\log }_{4}2022=\frac{1}{2}+\frac{{\log }_{10}1011}{2{\log }_{10}2}$ と書く。上側は $1011<2^{10}$、下側は $1011>{10}^3$ と与えられた ${\log }_{10}2<0.3011$ を組み合わせ、同じ式の両側を評価する。

$A={\log }_{4}2022$ とおく。$2022=2\cdot 1011$ だから$$A=\frac{{\log }_{10}2+{\log }_{10}1011}{2{\log }_{10}2}=\frac{1}{2}+\frac{{\log }_{10}1011}{2{\log }_{10}2}\mathrm{.}$$まず $1011<1024=2^{10}$ より$${\log }_{10}1011<10{\log }_{10}2.$$したがって$$A<\frac{1}{2}+\frac{10{\log }_{10}2}{2{\log }_{10}2}=\frac{11}{2}=\mathrm{5.5.}$$次に $1011>1000={10}^3$ より ${\log }_{10}1011>3$ である。また$$2{\log }_{10}2<2\cdot 0.3011=0.6022$$であり、$$4.9\cdot 0.6022=2.95078<3$$だから$$\frac{3}{2{\log }_{10}2}>\mathrm{4.9.}$$よって$$A>\frac{1}{2}+\frac{3}{2{\log }_{10}2}>\frac{1}{2}+4.9=\mathrm{5.4.}$$以上より$$5.4<{\log }_{4}2022<5.5$$である。