京都大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

常用対数をとる。$${\displaystyle \frac{5}{4}}>1$$ なので，不等号の向きは変わらず $$10{\log }_{10}2<n{\log }_{10}{\displaystyle \frac{5}{4}}<20{\log }_{10}2$$ である。したがって$${\displaystyle \frac{10{\log }_{10}2}{{\log }_{10}({\displaystyle \frac{5}{4}})}}<n<{\displaystyle \frac{20{\log }_{10}2}{{\log }_{10}({\displaystyle \frac{5}{4}})}}$$を満たす自然数 $n$ を数えればよい。

ここで $${\log }_{10}{\displaystyle \frac{5}{4}}={\log }_{10}5-{\log }_{10}4$$ であり，$${\log }_{10}5=1-{\log }_{10}2$$，${\log }_{10}4=2{\log }_{10}2$ だから $${\log }_{10}{\displaystyle \frac{5}{4}}=1-3{\log }_{10}2$$ である。与えられた $0.301<{\log }_{10}2<0.3011$ より $$0.0967<{\log }_{10}{\displaystyle \frac{5}{4}}<0.097$$ を得る。

下限を評価する。分子は $3.01<10{\log }_{10}2<3.011$ であり，分母は $$0.0967<{\log }_{10}{\displaystyle \frac{5}{4}}<0.097$$ である。したがって$${\displaystyle \frac{3.01}{0.097}}<{\displaystyle \frac{10{\log }_{10}2}{{\log }_{10}({\displaystyle \frac{5}{4}})}}<{\displaystyle \frac{3.011}{0.0967}}$$である。ここで $$31<{\displaystyle \frac{3.01}{0.097}},{\displaystyle \frac{3.011}{0.0967}}<32$$ が成り立つので $$31<{\displaystyle \frac{10{\log }_{10}2}{{\log }_{10}({\displaystyle \frac{5}{4}})}}<32$$ である。よって $n$ は $n\geqq 32$ でなければならない。

同様に上限を評価する。分子は $6.02<20{\log }_{10}2<6.022$ であるから$${\displaystyle \frac{6.02}{0.097}}<{\displaystyle \frac{20{\log }_{10}2}{{\log }_{10}({\displaystyle \frac{5}{4}})}}<{\displaystyle \frac{6.022}{0.0967}}$$である。さらに $$62<{\displaystyle \frac{6.02}{0.097}},{\displaystyle \frac{6.022}{0.0967}}<63$$ なので $$62<{\displaystyle \frac{20{\log }_{10}2}{{\log }_{10}({\displaystyle \frac{5}{4}})}}<63$$ である。よって $n$ は $n\leqq 62$ でなければならない。また上限は62より大きいので，$n=62$ は上側の不等式を満たす。

したがって条件を満たす自然数は $32,33,\dots ,62$ であり，その個数は $62-32+1=31$ である。