京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（文系・数学理系甲共通）理系（甲）数学 第3問

$$a={\log }_{2}x,b={\log }_{2}y$$ とおく。$x>0,y>0$であり，$x\mathrm{\ne }1,y\mathrm{\ne }1$なので $a\mathrm{\ne }0,b\mathrm{\ne }0$ である。

底の変換公式より $${\log }_{x}y={\displaystyle \frac{{\log }_{2}y}{{\log }_{2}x}}={\displaystyle \frac{b}{a}},{\log }_{y}x={\displaystyle \frac{a}{b}}$$ であり，また $${\log }_{x}2={\displaystyle \frac{1}{a}},{\log }_{y}2={\displaystyle \frac{1}{b}}$$ である。したがって与えられた不等式は $${\displaystyle \frac{b}{a}}+{\displaystyle \frac{a}{b}}>2+{\displaystyle \frac{1}{ab}}$$ となる。左辺をまとめると $${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{ab}}-2-{\displaystyle \frac{1}{ab}}>0$$ であり，$${\displaystyle \frac{a^2-2ab+b^2-1}{ab}}>0$$ すなわち $${\displaystyle \frac{(a-b{)}^2-1}{ab}}>0$$ である。

よって場合分けする。

(i) $ab>0$のとき。このとき $(a-b{)}^2-1>0$ であるから $\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }>1$ である。$ab>0$は$a,b$が同符号であること，すなわち $(x-1)(y-1)>0$ に対応する。また $$a-b={\log }_2{\displaystyle \frac{x}{y}}$$ なので，$\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }>1$は $${\displaystyle \frac{x}{y}}>2\text{または}{\displaystyle \frac{x}{y}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ すなわち $$y<{\displaystyle \frac{x}{2}}\text{または}y>2x$$ である。

(ii) $ab<0$のとき。このとき分母が負なので $(a-b{)}^2-1<0$ であり，$\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }<1$ である。$ab<0$は $(x-1)(y-1)<0$ に対応する。また$\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }<1$は $${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{x}{y}}<2$$ すなわち $${\displaystyle \frac{x}{2}}<y<2x$$ である。

以上より，求める範囲は$$(x-1)(y-1)>0\text{ かつ }(y>2x\text{ または }y<{\displaystyle \frac{x}{2}})$$または $$(x-1)(y-1)<0\text{ かつ }{\displaystyle \frac{x}{2}}<y<2x$$ である。ただし $$x>0,y>0,x\mathrm{\ne }1,y\mathrm{\ne }1$$ である。図示すると，第一象限から直線$x=1$，$y=1$，$y=2x$，$y=x\mathrm{/}2$を境界として除き，同符号領域では2本の斜線の外側，異符号領域では2本の斜線の内側を取る。

求める領域

色を付けた部分が解であり，4本の破線上および座標軸上の点は含まない。